《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

10. 用因式分解法解方程:
(1) $ x^2 = 4x $; (2) $ 2(x - 1)^2 - x(x - 1) = 0 $; (3) $ 3x(x - 2) = 2x - 4 $.

答案： （1）$x_{1}=0,x_{2}=4$ （2）$x_{1}=1,x_{2}=2$ （3）$x_{1}=2,x_{2}=\frac{2}{3}$

11. (2024 上海期中)以下一元二次方程有两个相等实数根的是 (D)
A.$ x^2 - 6x = 0 $
B.$ x^2 - 9 = 0 $
C.$ x^2 - 6x + 6 = 0 $
D.$ x^2 - 6x + 9 = 0 $

答案： D

12. (2024 徐州阶段练习)关于$ x 的方程 x^2 + kx + 1 = 0 $有两个相等的实数根,则$ k $值为$\pm 2$.

答案： $\pm 2$

13. 已知关于$ x 的方程 x^2 - (k + 2)x + 2k - 1 = 0 $,求证:方程总有两个不相等的实数根.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的判别式$\Delta$的应用。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
对于给定的方程$x^2 - (k + 2)x + 2k - 1 = 0$，我们可以得到$a = 1, b = -(k + 2), c = 2k - 1$。
代入判别式公式，得到：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(k + 2)]^2 - 4(1)(2k - 1)$
$= k^2 + 4k + 4 - 8k + 4$
$= k^2 - 4k + 8$
$= (k - 2)^2 + 4$
由于$(k - 2)^2$的值总是非负的，所以$(k - 2)^2 + 4 ＞ 0$。
因此，判别式$\Delta ＞ 0$，所以方程总有两个不相等的实数根。
【答案】：
证明：对于方程$x^2 - (k + 2)x + 2k - 1 = 0$，其判别式为
$\Delta = [-(k + 2)]^2 - 4(1)(2k - 1)$
$= k^2 + 4k + 4 - 8k + 4$
$= k^2 - 4k + 8$
$= (k - 2)^2 + 4$
由于$(k - 2)^2 \geq 0$，所以$(k - 2)^2 + 4 ＞ 0$。
因此，判别式$\Delta ＞ 0$，所以方程$x^2 - (k + 2)x + 2k - 1 = 0$总有两个不相等的实数根。

14. 已知关于$ x 的一元二次方程 x^2 + 3x + 1 = 0 有两个根分别为 x_1 和 x_2 $,则$ x_1x_2 + x_1 + x_2 $的值是-2.

答案： -2

15. 若关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + (2m + 1)x + m^2 + 1 = 0 $的两个实数根的平方和为 15,则$ m $的值为2.

答案： 2

16. 用配方法解方程$ x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} = 0 $时,应将其变形为 (C)
A.$ (x - \frac{1}{3})^2 = \frac{2}{9} $
B.$ (x - \frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} $
C.$ (x - \frac{1}{3})^2 = \frac{4}{9} $
D.$ (x - \frac{1}{3})^2 = 0 $

答案： C

17. (2024 四川成都模拟)若$ m、n 是一元二次方程 x^2 - 5x + 2 = 0 $的两个实数根,则$ m + (n - 2)^2 $的值为7.

答案： 7

18. 若关于$ x $的一元二次方程 $x^2 + 2(1 + a)x + 3a^2 + 4ab + 4b^2 + 2 = 0 $有实数根,则$ \frac{b}{a} $的值为$-\frac{1}{2}$.

答案： $-\frac{1}{2}$