《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

4. 如图,AB 是$\odot O$的直径,AC 与$\odot O$交于点 F,弦 AD 平分$∠BAC,DE⊥AC$,垂足为 E.
(1) 试判断直线 DE 与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2) 若$\odot O$的半径为 2,$∠BAC= 60^{\circ }$,求线段 EF 的长.

答案： 1. （1）
直线$DE$与$\odot O$相切。
理由：
连接$OD$。
因为$OA = OD$，所以$\angle OAD=\angle ODA$。
又因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle OAD=\angle CAD$。
则$\angle ODA=\angle CAD$，所以$OD// AC$。
因为$DE\perp AC$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$。
由$OD// AC$可得$\angle ODE=\angle AED = 90^{\circ}$，即$OD\perp DE$。
又因为$OD$是$\odot O$的半径，所以直线$DE$与$\odot O$相切。
2. （2）
解：
连接$BD$，$BF$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle AFB = 90^{\circ}$。
已知$\odot O$半径$r = 2$，则$AB=4$。
因为$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle ABF = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABF$中，$AF=\frac{1}{2}AB = 2$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，$\angle OAD = 30^{\circ}$，$OA = OD = 2$，$\angle ODE = 90^{\circ}$，$\angle AED = 90^{\circ}$，$OD// AC$。
四边形$EFOD$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），则$EF = OD$。
所以$EF = 1$。
综上，（1）直线$DE$与$\odot O$相切；（2）$EF$的长为$1$。

5. 如图,AB 为$\odot O$的直径,过圆上一点 D 作$\odot O$的切线 CD 交 BA 的延长线于点 C,连接 AD,过点 O 作$OE// AD$交 CD 的延长线于点 E,连接 BE.
(1) 直线 BE 与$\odot O$相切吗? 请说明理由.
(2) 若$CA= 2,CD= 4$,求 DE 的长.

答案：
(1)直线BE与$\odot O$相切.理由略.
(2)$DE=6$.

6. 如图,AB 是$\odot O$的直径,AC 是$\odot O$的切线,切点为 A,BC 交$\odot O$于点 D,E 是 AC 的中点,连接DE.
(1) 试判断直线 DE 与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2) 若$\odot O$的半径为 2,$∠B= 50^{\circ },AC= 4.8$,求图中阴影部分的面积.

答案：
(1)直线DE与$\odot O$相切.理由略.
(2)图中阴影部分的面积为$\frac{24}{5}-\frac{10}{9}\pi$.