《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

1. (2024 宿迁统考)(1) 如图,AB 是$\odot O$的直径,AC 与$\odot O$交于点 F,弦 AD 平分$∠BAC$,点 E 在AC 上,连接 DE、DB,①. 求证:②.
从①DE 与$\odot O$相切,②$DE⊥AC$中选择一个作为已知条件,余下的一个作为结论,将题目补充完整(填写序号),并完成证明过程.
(2) 在(1)的前提下,若$AB= 6,∠BAD= 30^{\circ }$,求阴影部分的面积.

(1) 补充题目并证明
- 补充题目：已知$AB$是$\odot O$的直径，$AC$与$\odot O$交于点$F$，弦$AD$平分$\angle BAC$，点$E$在$AC$上，连接$DE$、$DB$，①$DE$与$\odot O$相切，求证：②$DE\perp AC$。
- 证明：
连接$OD$。
因为$OA = OD$，所以$\angle OAD=\angle ODA$（等边对等角）。
又因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle OAD=\angle CAD$，则$\angle ODA=\angle CAD$，所以$OD// AC$（内错角相等，两直线平行）。
因为$DE$与$\odot O$相切，所以$OD\perp DE$（圆的切线垂直于经过切点的半径）。
由于$OD// AC$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle AED = \angle ODE = 90^{\circ}$，即$DE\perp AC$。
(2) 阴影部分的面积为$\frac{27}8\sqrt{3}-\frac{3π}2$

答案： $(1)$ 补充题目并证明
- 补充题目：已知$AB$是$\odot O$的直径，$AC$与$\odot O$交于点$F$，弦$AD$平分$\angle BAC$，点$E$在$AC$上，连接$DE$、$DB$，①$DE$与$\odot O$相切，求证：②$DE\perp AC$。
- 证明：
连接$OD$。
因为$OA = OD$，所以$\angle OAD=\angle ODA$（等边对等角）。
又因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle OAD=\angle CAD$，则$\angle ODA=\angle CAD$，所以$OD// AC$（内错角相等，两直线平行）。
因为$DE$与$\odot O$相切，所以$OD\perp DE$（圆的切线垂直于经过切点的半径）。
由于$OD// AC$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle AED = \angle ODE = 90^{\circ}$，即$DE\perp AC$。
$(2)$ 阴影部分的面积为$\frac{27}8\sqrt{3}-\frac{3π}2$

2. (2024 连云港周练)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以 AB 为直径的$\odot O$交边 AC 于点 D,连接BD,过点 C 作$CE// AB$.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作图:过点 B 作$\odot O$的切线,交 CE 于点 F;(不写作法,保留作图痕迹,标明字母)
(2) 在(1)的条件下,求证:$BD= BF$.

答案：
1. （1）作图：

2. （2）证明：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，即$BD\perp AC$。
因为$BF$是$\odot O$的切线，所以$\angle ABF = 90^{\circ}$。
又因为$CE// AB$，所以$\angle FCB=\angle ABC$（两直线平行，内错角相等）。
所以$\angle FCB=\angle ACB$。
因为$BD\perp AC$，$BF\perp AB$，$CE// AB$，所以$\angle BDC=\angle BFC = 90^{\circ}$。
在$\triangle BDC$和$\triangle BFC$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BDC=\angle BFC\\\angle BCD=\angle BCF\\BC = BC\end{array}\right.$（$AAS$判定定理：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等），可得$\triangle BDC\cong\triangle BFC$。
所以$BD = BF$（全等三角形的对应边相等）。
综上，（1）完成作图；（2）证明了$BD = BF$。

3. (1) 如图 1,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,AD 平分$∠BAC$交 BC 于点 D,点 O 在边 AB 上,且$\odot O$经过 A、D 两点,分别交 AB、AC

于

点

E、F. 求证:BC 是$\odot O$的切线;
(2) 如图 2,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,用直尺和圆规作$\odot P$,使它满足以下条件:圆心 P 在边 AB上,经过点 A,且与边 BC 相切.(保留作图痕迹,不用写出作法)

答案：
$(1)$ 证明 $BC$ 是$\odot O$的切线
解：连接 $OD$。
因为 $OA = OD$（同圆半径相等），所以$\angle OAD=\angle ODA$。
又因为 $AD$ 平分$\angle BAC$，所以$\angle OAD = \angle CAD$。
则$\angle ODA=\angle CAD$（等量代换）。
所以 $OD// AC$（内错角相等，两直线平行）。
已知$\angle C = 90^{\circ}$，即$AC\perp BC$。
因为 $OD// AC$，所以$OD\perp BC$。
又因为 $OD$是$\odot O$的半径，根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以 $BC$ 是$\odot O$的切线。
$(2)$