《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

6. 已知△ABC.
(1)求作：△ABC的内切圆；(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)若△ABC的内切圆的圆心为O,设∠A为α,求∠BOC与α的数量关系.

答案：

(1)解:如图，⊙O即为△ABC的内切圆.
　　　　　　
(2)∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=90°+$\frac{1}{2}$α.

7. [原创题]如图,点A、B、C均在⊙O上,请用无刻度直尺作图.
(1)若∠A= 34°,在图1中求作一个56°的角；
(2)M、N分别是BC、AC边的中点,在图2中求作△ABC的内心.

答案：

(1)解:如图1,∠BCD即为所作;
　　　　　　　　　　
(2)解:如图2，点P即为所作.

8. 如图,在正方形网格中,A、B、C、D、O均为格点,点O是 (D)
A.△ABC的内心
B.△ABC的外心
C.△ACD的内心
D.△ACD的外心

答案： D

9. 已知点O为△ABC的外心,点I为△ABC的内心.
(1)若∠BIC= 115°,则∠BOC= 100°；(2)若∠BOC= 140°,则∠BIC= 125°.

答案：
(1)100°　
(2)125°

10. 如图,⊙O是等边三角形ABC的内切圆,分别与AB、BC、AC相切于点E、F、D,P是$\overset{\frown}{DF}$上一点,则∠EPF的度数为60°.

答案： 60°

11. (2024镇江一模)如图,等腰三角形ABC内接于⊙O,AB= AC,点I是△ABC的内心,连接BI并延长交⊙O于点D,点E在BD的延长线上,满足∠EAD= ∠CAD. 求证：OA所在的直线经过点I.

答案： 解：连接$AI$，$CI$。
因为$AB = AC$，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据垂径定理的推论可知$OA\perp BC$，且$OA$平分$\angle BAC$（平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）。
因为点$I$是$\triangle ABC$的内心，所以$AI$平分$\angle BAC$，$BI$平分$\angle ABC$，$CI$平分$\angle ACB$。
设$\angle BAD=\angle CAD = \alpha$，因为$\angle EAD=\angle CAD=\alpha$，$\angle ABD$与$\angle ACD$所对的弧都是$\overset{\frown}{AD}$，所以$\angle ABD=\angle ACD$。
又因为$AB = AC$，$\angle BAI=\angle CAI$，$AI = AI$，所以$\triangle ABI\cong\triangle ACI$（$ASA$），则$\angle ABI=\angle ACI$。
因为$\angle BAD=\angle CAD$，$OA$平分$\angle BAC$，$AI$平分$\angle BAC$，所以$A$，$I$在$OA$上，即$OA$所在的直线经过点$I$。