《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

4. 我们在探究一元二次方程的根与系数的关系中发现:如果关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq 0)$ 的两个根是 $x_{1}$、$x_{2}$,那么由求根公式可推出 $x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}$, $x_{1}\cdot x_{2}= \frac{c}{a}$. 请根据这一结论,解决下列问题:
(1) 若 $\alpha$、$\beta$ 是方程 $2x^{2}+x - 5 = 0$ 的两个根,则 $\alpha+\beta=$-1/2, $\alpha\cdot\beta=$-5/2;若 2,3 是方程 $x^{2}+px + q = 0$ 的两个根,则 $p=$-5, $q=$6.
(2) 已知 $m$、$n$ 满足 $m^{2}+5m - 3 = 0$, $n^{2}+5n - 3 = 0$,求 $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$ 的值.
2 或-31/3
(3) 已知 $a$、$b$、$c$ 满足 $a + b - 2c = 0$, $abc = 9$,则正整数 $c$ 的最小值为3.

答案： （1）-1/2 -5/2 -5 6 （2）2 或-31/3 （3）3

5. [新定义]若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 有两个实数根,且其中一个根比另一个根大 2,则称这样的方程为“间根方程”. 例如:方程 $x^{2}+2x = 0$ 的两个根是 $x_{1}= 0$, $x_{2}= -2$,则方程 $x^{2}+2x = 0$ 是“间根方程”.
(1) 方程 $x^{2}-4x + 3 = 0$ 是“间根方程”吗? 判断并说明理由.
(2) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 是“间根方程”.
①若 $c＞0$,判断方程 $cx^{2}+bx + a - 2 = 0$ 的根的情况,并说明理由;
②若 $a = 1$,且 $c$ 是方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 的一个根,求 $b$ 的值.

答案： （1）是,理由略.（2）①方程cx²+bx+a-2=0有两个不相等的实数根,理由略. ②b 的值为 0 或±2或-4.