《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

4. 求代数式$x^{2}-4x+3$的最小值时,我们通常运用“$a^{2}≥0$”这个公式对代数式进行配方来解决,比如$x^{2}-4x+3= x^{2}-4x+4-1= (x-2)^{2}-1,\because (x-2)^{2}≥0,\therefore (x-2)^{2}-1≥-1,\therefore x^{2}-4x+3$的最小值是-1.
试利用“配方法”解决下列问题:
(1)填空:$x^{2}+6x+13= (x+$3$)^{2}+$4;
(2)求$x^{2}+y^{2}+2x-4y+10$的最小值;
$x^{2}+y^{2}+2x-4y+10$的最小值为5.
(3)如图1,将边长为3的正方形的一组对边保持不变,另一组对边增加$2a+2(a＞0)$得到如图2所示的新矩形,此矩形的面积为$S_{1}$;将正方形的边长增加$a+1(a＞0)$,得到如图3所示的新正方形,此正方形的面积为$S_{2}$.
①用含a的代数式表示出$S_{1}$、$S_{2}$;
$S_{1}=3(3+2a+2)=6a+15$;$S_{2}=(3+a+1)^{2}=a^{2}+8a+16$.
②比较$S_{1}$、$S_{2}$的大小.
$S_{1}\lt S_{2}$.

答案： （1）3 4（2）$x^{2}+y^{2}+2x-4y+10$的最小值为5.（3）①$S_{1}=3(3+2a+2)=6a+15$;$S_{2}=(3+a+1)^{2}=a^{2}+8a+16$. ②$S_{1}\lt S_{2}$.