《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

11. 如图,AB是⊙O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE= BF.求证:OE= OF.

答案： 【解析】：本题可根据圆的性质，通过证明三角形全等来得出$OE = OF$。已知$OA = OB$（圆的半径相等），$AE = BF$（题目条件），需要找到合适的角来证明三角形全等，可利用圆的性质得到$\angle A=\angle B$，进而证明$\triangle OAE\cong\triangle OBF$。
【答案】：
证明：
连接$OA$、$OB$。
∵$OA$、$OB$是$\odot O$的半径，
∴$OA = OB$。
∴$\angle A=\angle B$（等边对等角）。
在$\triangle OAE$和$\triangle OBF$中，
$\begin{cases}OA = OB\\\angle A=\angle B\\AE = BF\end{cases}$
∴$\triangle OAE\cong\triangle OBF(SAS)$。
∴$OE = OF$。

12. 如图,AB是半圆O的直径,BC是半圆O的弦,利用尺规作图法在AC上求作一点M,连接OM,使得OM//BC.(不写作法,保留作图痕迹)

答案：
如图，点M即为所求;

13. [新定义]在平面直角坐标系中,关于点$M(x_1,y_1)$与点$N(x_2,y_2)$的“阳光距离”,给出如下定义:若|$x_1 - x_2$|≥|$y_1 - y_2$|,则点M、N的“阳光距离”为|$x_1 - x_2$|;若|$x_1 - x_2$| ＜ |$y_1 - y_2$|,则点M、N的“阳光距离”为|$y_1 - y_2$|.
(1) ①已知点A(2,3)、B(-2,1),点A、B的“阳光距离”为______4;
②已知点A(2,3)、B(-2,m),点A、B的“阳光距离”为5,求m的值.m=-2或m=8
(2) 已知点P(1,2)、Q(n,0),当点P、Q的“阳光距离”最小时,求最小“阳光距离”及n的取值范围.最小“阳光距离”为2，n的取值范围为-1≤n≤3
(3) 如图,点E在以(2,4)为圆心,1为半径的圆上,点F(0,1),记点E、F的“阳光距离”为s,直接写出s的取值范围.2≤s≤4

答案：
(1) ①4 ②m=-2或m=8.
(2) -1≤n≤3. 最小“阳光距离”为2;
(3) 2≤s≤4.