《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

12. 如图,$CD是\odot O$的直径,$A$是半圆上的三等分点,$B是\overgroup{AD}$的中点,$P为直线CD$上的一个动点. 当$CD = 4$时,$AP + BP$的最小值为$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$

13. 如图,以$□ ABCD的顶点A$为圆心,$AB长为半径作\odot A$,分别交$BC$、$AD于点E$、$F$,交$BA的延长线于点G$.
(1) 求证:$\overgroup{EF}= \overgroup{FG}$;
(2) 连接$EG$,若$\overgroup{EG}所对的圆心角为140^{\circ}$,求$∠GAF$的度数.

答案： （1）证明略 （2）$\angle GAF=70^\circ$

14. (2024 南京期中)如图,$AB$、$AC是\odot O$的弦,$AB = AC$,$OD$、$OE是\odot O$的半径,且$AB// OD$,$AC// OE$. 求证:$\overgroup{BD}= \overgroup{CE}$.

答案： 证明：连接OA。
∵AB=AC，
∴∠AOB=∠AOC（在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等）。
∵AB//OD，
∴∠AOD=∠OAB（两直线平行，内错角相等）。
∵AC//OE，
∴∠AOE=∠OAC（两直线平行，内错角相等）。
∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA（等边对等角）。
又
∵AB=AC，
∴∠OAB=∠OAC（等腰三角形底角相等）。
∴∠AOD=∠AOE。
∵∠BOD=∠AOB - ∠AOD，∠COE=∠AOC - ∠AOE，
且∠AOB=∠AOC，∠AOD=∠AOE，
∴∠BOD=∠COE。
∴$\overgroup{BD}=\overgroup{CE}$（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。

15. [新探究]小明在完成作业“如图 1,$∠AOB = 90^{\circ}$,$C$、$D是\overgroup{AB}$的三等分点,弦$AB分别交OC$、$OD于点E$、$F$,求证:$AE = BF = CD$”的基础上,做了如下尝试,把“$∠AOB = 90^{\circ}$”改为“$∠AOB = 120^{\circ}$”,其他不变,并作出如图 2 所示的图形,证明成功后,大胆猜想“若$∠AOB = n^{\circ}$,$C$、$D是\overgroup{AB}$的三等分点,弦$AB分别交OC$、$OD于点E$、$F$,$AE = BF = CD$这个结论依然成立”. 请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程.

答案： 1. 首先，连接$AC$，$BD$：
因为$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$。
根据同圆中，等弧所对的圆心角相等，可得$\angle AOC=\angle COD = \angle DOB=\frac{1}{3}\angle AOB$。
又因为$OA = OC = OD = OB$（同圆半径相等），所以$\triangle AOC\cong\triangle COD\cong\triangle DOB$（$SAS$：$OA = OC$，$\angle AOC=\angle COD$，$OC = OD$；$OC = OD$，$\angle COD=\angle DOB$，$OD = OB$），则$AC = CD = BD$。
2. 然后，求$\angle OAC$和$\angle OAB$的关系：
因为$OA = OC$，设$\angle AOC=\alpha=\frac{n^{\circ}}{3}$，则$\angle OAC=\angle OCA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOC)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
又因为$OA = OB$，$\angle AOB = n^{\circ}$，所以$\angle OAB=\angle OBA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOB)=90^{\circ}-\frac{n^{\circ}}{2}$。
而$\angle AEC=\angle OAB+\angle AOC=(90^{\circ}-\frac{n^{\circ}}{2})+\frac{n^{\circ}}{3}=90^{\circ}-\frac{n^{\circ}}{6}$。
$\angle OAC = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{n^{\circ}}{6}$，所以$\angle AEC=\angle OAC$，则$AC = AE$。
3. 同理：
对于$\angle BFD$，$\angle BFD=\angle OBA+\angle BOD$，$\angle OBA = 90^{\circ}-\frac{n^{\circ}}{2}$，$\angle BOD=\frac{n^{\circ}}{3}$，所以$\angle BFD=90^{\circ}-\frac{n^{\circ}}{6}$。
又因为$\angle OBD=\angle ODB = 90^{\circ}-\frac{\angle BOD}{2}=90^{\circ}-\frac{n^{\circ}}{6}$，所以$\angle BFD=\angle OBD$，则$BD = BF$。
4. 最后：
因为$AC = CD = BD$，$AC = AE$，$BD = BF$，所以$AE = BF = CD$。
综上，无论$\angle AOB=n^{\circ}$（$n$为任意角度，只要满足$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点），$AE = BF = CD$这个结论都成立。