《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

8. (1)一个直角三角形的三个顶点在同一个圆上吗?
如图1,在$Rt\triangle ABD$中,$∠BAD = 90^{\circ}$,O为BD的中点,求证:A、B、D三点在以点O为圆心的同一个圆上.
(2)拥有公共斜边的两个直角三角形所有的顶点在同一个圆上吗?
如图2,在$Rt\triangle ABD和Rt\triangle BCD$中,O为BD的中点,求证:点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.

答案：
(1)证明：在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD=90^{\circ}$，O为BD的中点。
根据直角三角形斜边中线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$OA=\frac{1}{2}BD$。
又因为$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，所以$OA=OB=OD$。
因此，A、B、D三点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上。
(2)证明：在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD=90^{\circ}$，O为BD的中点，由
(1)知$OA=OB=OD$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BCD=90^{\circ}$，O为BD的中点，同理可得$OC=\frac{1}{2}BD$，所以$OC=OB=OD$。
因此，$OA=OB=OC=OD$。
所以，点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上。

9. (2024南通阶段练习)如图,A是半径为3的$\odot O$上的一个动点,点O到直线MN的距离为4,P是MN上一个动点.在运动过程中,若$∠POA = 90^{\circ}$,则线段PA长的最小值是____5.

答案： 5

10. 如图,OA是$\odot O$的半径,B为OA上一点(且不与点O、A重合),过点B作OA的垂线交$\odot O$于点C,以OB、BC为邻边作矩形OBCD,连接BD.若$BD = 10$,$BC = 8$,则AB的长为4.

答案： 4

11. 如图,点A,B,C都在$\odot O$上,且$AB// OC$,$BC// OA$.
(1)求证:四边形ABCO是菱形;
(2)求$∠AOC$的度数.

答案：
(1)证明:
∵AB//OC,BC//OA,
∴四边形OABC是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又
∵点A,B,C都在⊙O上，
∴四边形OABC是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形);
(2)解:连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴易得△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°.

12. 如图,在平面直角坐标系中,以点$A(2,0)$为圆心作圆,使圆经过点$B(0,-4)$,试判断点$C(0,4)$,$D(-2,0)$,$E(0,8)与\odot A$的位置关系.若点$M(0,m)在\odot A$外,求m的取值范围.

答案： 点C在⊙A上，点D在⊙A内，点E在⊙A外,m的取值范围是m＜−4或m＞4.