《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

1. 已知一元二次方程 $x^{2}-3x + 1 = 0$ 的两个根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$,则 $2x_{1}^{3}-6x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-5x_{2}+7$ 的值为(A)
A.0
B.7
C.13
D.6

答案： A

2. (2024 广东深圳模拟)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - 3)(x - 2)-p^{2}= 0$.
(1) 求证:无论 $p$ 取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程的两个实数根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$,且满足 $x_{1}= 4x_{2}$,试求出 $p$ 的值.

答案： （1）证明略.（2）实数 p 的值为±√2.

3. (1) 基础应用:
已知一元二次方程 $x^{2}+3x - 2 = 0$.
①若 $x = m$ 是该方程的一个根,则 $m^{2}+3m + 2021=$2023;
②设此方程的两个实数根分别为 $m$、$n$,则代数式 $m^{2}+n^{2}$ 的值为13.
(2) 拓展延伸:
若实数 $m$、$n$ 满足 $m^{2}-2m - 1 = 0$, $n^{2}-2n - 1 = 0$,且 $m\neq n$,求 $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$ 的值.
±2√2
(3) 能力提升:
若实数 $m$、$n$ 满足 $m^{2}-2m - 1 = 0$, $n^{2}+2n - 1 = 0$,且 $mn\neq 1$,则 $\frac{mn + m + 1}{n}=$1.

答案： （1）①2 023 ②13 （2）±2√2 （3）1