《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

若关于$x的一元二次方程(k - 1)x^{2}+2x - 3 = 0$有实数根,则$k$的最小整数值为______。
点拨 由$b^{2}-4ac\geqslant0得k$的不等关系,但容易忽略二次项系数$k\neq1$这个条件。

答案： 2

1.(2024吉林模拟)下列方程中,有两个相等实数根的是(B)
A.$(x - 2)^{2}= -1$
B.$(x - 2)^{2}= 0$
C.$(x - 2)^{2}= 1$
D.$(x - 2)^{2}= 2$

答案： B

2. 关于$x的方程x^{2}+\sqrt{2}x - 1 = 0$的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

3. 不解方程,直接判断下列一元二次方程的根的情况.
(1)$x^{2}-3x - 7 = 0$；
(2)$9x^{2}+6x + 1 = 0$；
(3)$2x^{2}-5x + 4 = 0$.

答案： （1）a=1,b=-3,c=-7,Δ=b²-4ac=9+28=37＞0,所以方程有两个不相等的实数根.
（2）a=9,b=6,c=1,b²-4ac=36-36=0,所以方程有两个相等的实数根.
（3）a=2,b=-5,c=4,b²-4ac=25-32=-7＜0,所以方程无实数根.

4.(2024四川泸州练习)关于$x的一元二次方程x^{2}+2ax + a^{2}-1 = 0$的根的情况是(C)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数$a$的取值有关

答案： C

5. 已知关于$x的方程x^{2}+(k + 1)x + k^{2}-k + 2 = 0$,求证：不论$k$取何实数,此方程都没有实数根.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式。
首先，我们需要知道一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
对于给定的方程$x^2 + (k + 1)x + k^2 - k + 2 = 0$，
我们可以确定$a = 1, b = k + 1, c = k^2 - k + 2$。
代入判别式，我们得到：
$\Delta = (k + 1)^2 - 4(1)(k^2 - k + 2)$
$= k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k - 8$
$= -3k^2 + 6k - 7$
为了判断这个表达式是否总是小于0，我们可以考虑它的完全平方形式或者通过其他方法判断其符号。
但更直接的方法是，我们可以注意到$-3k^2 + 6k - 7$的系数$a = -3 ＜ 0$，并且其判别式$\Delta' = 6^2 - 4(-3)(-7) = 36 - 84 = -48 ＜ 0$，
说明$-3k^2 + 6k - 7$没有实数根，且因为$a ＜ 0$，所以$-3k^2 + 6k - 7$总是小于0。
因此，不论$k$取何实数，此方程都没有实数根。
【答案】：
证明：
考虑方程$x^2 + (k + 1)x + k^2 - k + 2 = 0$，
其判别式为：
$\Delta = (k + 1)^2 - 4(k^2 - k + 2)$
$= k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k - 8$
$= -3k^2 + 6k - 7$
由于$-3k^2 + 6k - 7$的系数$a = -3 ＜ 0$，并且其判别式$\Delta' = -48 ＜ 0$，
所以$-3k^2 + 6k - 7$总是小于0。
因此，不论$k$取何实数，此方程都没有实数根。

6. 已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+6x + 1 = 0$没有实数根,则$a$的取值范围是a＞9.

答案： a＞9

7.(2024连云港模拟)关于$x的一元二次方程x^{2}-x + c = 0$有两个相等的实数根,则$c$的值为$\frac{1}{4}$.

答案： $\frac{1}{4}$