《2025年夺冠课课练九年级数学上册苏科版》

9. 如图,若以平行四边形的一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则$∠C = $45$^{\circ}$.

答案： 45

10. 如图,OA是$\odot O$的半径,BC是$\odot O$的弦,$OA⊥BC$于点D,AE是$\odot O$的切线,AE交OC的延长线于点E.若$∠AOC = 45^{\circ}$,$BC = 2$,则线段AE的长为 (A)
A.$\sqrt{2}$
B.1.5
C.1
D.$\sqrt{3}$

答案： A

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 10$,$AC = 8$,$BC = 6$,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,连接OC与半圆相交于点D,则CD的长为2.

答案： 2

12. (2024四川凉山中考)如图,$\odot M的圆心为M(4,0)$,半径为2,P是直线$y = x + 4$上的一个动点,过点P作$\odot M$的切线,切点为Q,则PQ的最小值为______2$\sqrt{7}$.

答案： 2$\sqrt{7}$

13. 如图,点O是菱形ABCD对角线上一点,以点O为圆心,OA长为半径的$\odot O$与BC相切于点M.
(1) 求证:CD与$\odot O$相切;
(2) 若$∠B = 60^{\circ}$,$\odot O$的半径为3,求菱形的边长.

答案： 1. （1）证明：
连接$OM$，过$O$作$ON\perp CD$于$N$。
因为$\odot O$与$BC$相切于点$M$，所以$OM\perp BC$。
又因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC$平分$\angle BCD$（菱形的对角线平分一组对角）。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因为$OM\perp BC$，$ON\perp CD$，所以$OM = ON$。
因为$OA$为$\odot O$的半径，$OM = OA$，所以$ON = OA$，且$ON\perp CD$。
根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以$CD$与$\odot O$相切。
2. （2）解：菱形的边长为$3+2\sqrt{3}$

14. 如图,P是$\odot O$上一点,用两种不同的方法过点P作$\odot O$的一条切线.
要求:(1) 用直尺和圆规作图;
(2) 保留作图痕迹,写出必要的文字说明.

答案：
解:方法一:如图1连接OP并延长，过点P作OP的垂线l,则l即为所求.
　　　　　　
　　方法二:如图2，作直径AP，作直径所对的圆周角∠B，过点P作∠BPC，使∠BPC与∠A在BP的两侧且∠BPC = ∠A，过点C作直线l，则直线l即为所作的切线.