《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

10.(2023·苏州期中)已知$x= \frac {-b-\sqrt {b^{2}-4c}}{2}(b^{2}-4c≥0)$,则$x^{2}+bx+c$的值为0.

答案： 0

11.(2024·浙江模拟)已知长方形的长宽之和为p,面积为q,设宽为x,根据图形面积的关系可构造方程$x(p-x)= q$.早在3世纪,我国汉代的赵爽借助图(由四个这样的长方形围成一个大正方形,中间的部分是一个小正方形)将x用p,q表示为$x= \frac {1}{2}(p-\sqrt {p^{2}-4q})$,从而得到形如$-x^{2}+px= q$的一元二次方程其中一个根的求根公式.如图,x的表达式中$\sqrt {p^{2}-4q}$所表示的几何量是______小正方形的边长.

答案： 小正方形的边长

12.用公式法解下列方程:
(1)$5x^{2}-10x-40= 0;$
(2)$-\frac {1}{3}x^{2}-3x= 2;$
(3)$x^{2}+2= 2\sqrt {2}x;$
(4)$3x^{2}+2x= (x+2)^{2}.$

答案： 1. （1）
对于方程$5x^{2}-10x - 40 = 0$，先将方程化为一般形式$ax^{2}+bx + c = 0$，这里$a = 5$，$b=-10$，$c=-40$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-10)^{2}-4×5×(-40)=100 + 800=900$。
再根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{10\pm\sqrt{900}}{2×5}=\frac{10\pm30}{10}$。
则$x_{1}=\frac{10 + 30}{10}=4$，$x_{2}=\frac{10-30}{10}=-2$。
2. （2）
先将方程$-\frac{1}{3}x^{2}-3x = 2$化为一般形式$ax^{2}+bx + c = 0$，方程两边同时乘以$-3$得$x^{2}+9x + 6 = 0$，这里$a = 1$，$b = 9$，$c = 6$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=9^{2}-4×1×6=81-24 = 57$。
再根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{-9\pm\sqrt{57}}{2}$。
3. （3）
先将方程$x^{2}+2 = 2\sqrt{2}x$化为一般形式$ax^{2}+bx + c = 0$，即$x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 = 0$，这里$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = 2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×2=8 - 8 = 0$。
再根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{0}}{2}=\sqrt{2}$，所以$x_{1}=x_{2}=\sqrt{2}$。
4. （4）
先将方程$3x^{2}+2x=(x + 2)^{2}$化为一般形式$ax^{2}+bx + c = 0$：
展开$(x + 2)^{2}=x^{2}+4x + 4$，则$3x^{2}+2x=x^{2}+4x + 4$，移项得$3x^{2}-x^{2}+2x-4x - 4 = 0$，即$2x^{2}-2x - 4 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-x - 2 = 0$，这里$a = 1$，$b=-1$，$c=-2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-1)^{2}-4×1×(-2)=1 + 8 = 9$。
再根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$。
则$x_{1}=\frac{1 + 3}{2}=2$，$x_{2}=\frac{1-3}{2}=-1$。
综上，（1）$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$；（2）$x=\frac{-9\pm\sqrt{57}}{2}$；（3）$x_{1}=x_{2}=\sqrt{2}$；（4）$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。

13.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号$max\{ a,b\}$表示a,b中的较大值,如:$max\{ 1,3\} = 3$.按照这个规定,解方程$max\{ 1,x\} = x^{2}-6.$

答案： 解:当$x＞1$时,方程为$x^{2}-6=x$,即$x^{2}-x-6=0,$
解得$x_{1}=-2$(舍去),$x_{2}=3.$
∴此时$x=3;$
当$x＜1$时,方程为$x^{2}-6=1,$
解得$x_{1}=\sqrt {7}$(舍去),$x_{2}=-\sqrt {7},\therefore$此时$x=-\sqrt {7}.$
综上,方程$max(1,x)=x^{2}-6$的解为$x=3$或$x=-\sqrt {7}.$

14.已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}-2ax+a+1= 0.$
(1)求该方程的根;
(2)当a为何整数时,该方程的两个根都是正整数?

答案： 解:
(1)由已知得$a-1≠0$,即$a≠1,$
∴判别式为$(-2a)^{2}-4(a-1)(a+1)=4,$
$\therefore x=\frac {2a\pm 2}{2(a-1)}=\frac {a\pm 1}{a-1}.\therefore x_{1}=\frac {a+1}{a-1},x_{2}=1.$
(2)由
(1)知$x_{1}=\frac {a+1}{a-1}=1+\frac {2}{a-1},x_{2}=1,$
∵a为整数,且该方程的两个根都是正整数,
$\therefore a-1=1$或$a-1=2.\therefore a=2$或$a=3.$