《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

7. (2023·泰兴期末)如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 4,BC= 3.\odot O是\triangle ABC$的内切圆,分别与AC,BC,AB相切于点D,E,F,则圆心O到顶点A的距离为______$\sqrt{10}$.

答案： $\sqrt{10}$

8. 等腰三角形的底边长为12,腰长为10,该等腰三角形内心和外心的距离为$\frac{5}{4}$.

答案： $\frac{5}{4}$

9. (2023·钟吾初中期末)如图,点E是$\triangle ABC$的内心,AE的延长线和$\triangle ABC的外接圆\odot O$相交于点D,过点D作直线$DG// BC$.
(1)求证:DG是$\odot O$的切线;
(2)求证:$DE= CD$;
(3)若$DE= 2\sqrt {5},BC= 8$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)证明:如答图，连接OD交BC于点H.
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC,
　即∠BAD=∠CAD,
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$,
∴OD⊥BC,BH=CH,
∵DG//BC,
∴OD⊥DG,
∵OD是⊙O的半径,
∴DG是⊙O的切线.
(2)证明:如答图，连接BD.
∵点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∵∠DBC=∠DAC,∠BAD=∠DAC,
∴∠DBC=∠BAD,
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE,即∠BED=∠DBE,
∴BD=DE,
∵$\widehat{BD}=\widehat{CD}$,
∴BD=CD,
∴DE=CD.
(3)解:如答图，连接OB,
　由
(1)得OD⊥BC,BH=CH,
∵BC=8,
∴BH=CH=4,
∵DE=2$\sqrt{5}$,且由
(2)得BD=DE,
∴BD=2$\sqrt{5}$.
　在Rt△BHD中,BD²=BH²+HD²,
∴(2$\sqrt{5}$)²=4²+HD²,
∴HD=2,
　设⊙O的半径为r,则在Rt△BHO中,
　r²=BH²+(r - 2)²,解得r=5.

10. 如图,在扇形CAB中,$CD⊥AB$,垂足为D,圆E是$\triangle ACD$的内切圆,切点分别为M,N,F,连接AE,BE.
(1)求$∠AEB$的度数;
(2)求证:$∠ACD= 2∠ABE$.

答案：

(1)解:如答图，连接EC.
∵E是△ADC的内心,∠ADC=90°,
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD,∠EAC=$\frac{1}{2}$∠CAD,
　∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠AEC=180° - $\frac{1}{2}$(∠ACD+∠CAD)=135°,
　在△AEC和△AEB中,$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠EAC=∠EAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
∴△EAC≌△EAB(SAS),
∴∠AEB=∠AEC=135°.
(2)证明:由
(1)知∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD,△EAC≌△EAB,
∴∠ACE=∠ABE,
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ACD,
　即∠ACD=2∠ABE.