《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

9. (1)设$x_{1},x_{2}是方程x^{2}-3x-2021= 0$的两个根,则$x_{1}^{2}-2x_{1}+x_{2}=$2024.
(2)已知α,β是方程$x^{2}-3x-4= 0$的两个实数根,则$2α^{2}-3α+β^{2}$的值为21.

答案：
(1)2024
(2)21

10. (2023·达州)已知$x_{1},x_{2}是方程2x^{2}+kx-2= 0$的两个实数根,且$(x_{1}-2)(x_{2}-2)= 10$,则k的值是____7.

答案： 7

11. 已知实数m,n满足$m^{2}+2m-1= 0,n^{2}+2n-1= 0$,且$m≠n$,则$\frac {1}{m}+\frac {1}{n}= $2.

答案： 2

12. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1= 0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}和x_{2}$.
(1)求$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}},x_{1}+\frac {1}{x_{1}}$的值;
(2)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2p+1$,求p的值.

答案： 解:
(1)$\because x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,$\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$.
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$,$\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1=0$,$\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$,即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$.
(2)$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$,又$x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,$\therefore p^{2}-2=2p+1$,解得$p_{1}=3$,$p_{2}=-1$.当$p=3$时,$\Delta =p^{2}-4=9-4=5＞0$;当$p=-1$时,$\Delta =p^{2}-4=-3＜0$,不合题意,$\therefore p=3$.

13. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+a= 0的两个实数根x_{1},x_{2}满足x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}＞0$,求a的取值范围.

答案： 解:$\because x_{1},x_{2}$是$x^{2}-2x+a=0$的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}x_{2}=a$,$\because x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}＞0$,$\therefore 2+a＞0$,解得$a＞-2$,又$\because \Delta =(-2)^{2}-4a\geq0$,解得$a\leq1$,$\therefore a$的取值范围为$-2 ＜ a\leq1$.

14. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2tx+t^{2}-2t+4= 0$有两个不相等的实数根m,n.
(1)求t的取值范围;
(2)设$Q= (m-2)(n-2)$,试求Q的最小值.

答案： 解:
(1)根据题意得$b^{2}-4ac=(-2t)^{2}-4(t^{2}-2t+4)＞0$,解得$t＞2$,即t的取值范围为$t＞2$.
(2)根据根与系数的关系得$m+n=2t$,$mn=t^{2}-2t+4$,$\therefore Q=mn-2(m+n)+4=t^{2}-2t+4-4t+4=t^{2}-6t+8=(t-3)^{2}-1$,$\because t＞2$,$\therefore$当$t=3$时,Q取得最小值,最小值为-1.