《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

12.(10 分)新定义(2024·苏州园区二模)定义新运算：对于任意实数 $a$,$b$,都有 $a\oplus b = a(a - b)+1$,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如：$2\oplus 5 = 2×(2 - 5)+1 = 2×(-3)+1= -6 + 1= -5$.
(1)若 $x\oplus(-4)= 6$,求 $x$ 的值；
(2)若 $m$,$n$ 均为实数,且 $3\oplus m$ 的值小于 10,判断关于 $x$ 的方程 $2x^{2}-nx - m = 0$ 的根的情况.

答案： 解:
(1)根据运算定义,可得$x\oplus (-4)=x×(x+4)+1=6$,化简得$x^{2}+4x-5=0,$解得$x_{1}=-5,x_{2}=1.$
(2)根据题意得$3\oplus m=3×(3-m)+1=10-3m＜10,$$\therefore -3m＜0,\therefore m＞0,$$\therefore △=(-n)^{2}+8m=n^{2}+8m＞0,$
∴关于x的方程$2x^{2}-nx-m=0$有两个不相等的实数根.

13.(15 分)(2023·淮安期中)已知关于 $x$ 的方程 $(a - 5)x^{2}-4x - 1 = 0$.
(1)若方程有实数根,求 $a$ 的取值范围.
(2)是否存在这样的实数 $a$,使方程的两根 $x_{1}$,$x_{2}$ 满足 $x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}= 3$,若存在,求出实数 $a$ 的值；若不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1)当$a=5$时,方程为$-4x-1=0$,方程有实数根.当$a≠5$时,方程为一元二次方程,令$△=16+4(a-5)=4a-4≥0$,解得$a≥1.$所以a的取值范围是$a≥1.$
(2)存在.根据题意得$x_{1}+x_{2}=\frac {4}{a-5},x_{1}x_{2}=-\frac {1}{a-5},$因为$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=3,$所以$\frac {4}{a-5}-\frac {1}{a-5}=3$,解得$a=6.$经检验$a=6$是所列方程的解,又因为$a≥1$,所以存在实数a,使方程的两根$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=3$,此时$a=6.$

14.(15 分)(2023·湖北)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}+m = 0$.
(1)求证：无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为 $a$,$b$,若 $(2a + b)(a + 2b)= 20$,求 $m$ 的值.

答案：
(1)证明:$\because △=[-(2m+1)]^{2}-4(m^{2}+m)=4m^{2}+4m+1-4m^{2}-4m=1＞0,$
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:
∵该方程的两个实数根为a,b,$\therefore a+b=2m+1,ab=m^{2}+m,$$\because (2a+b)(a+2b)=2a^{2}+4ab+ab+2b^{2}=2(a^{2}+2ab+b^{2})+ab=2(a+b)^{2}+ab,$$\therefore 2(a+b)^{2}+ab=20,$$\therefore 2(2m+1)^{2}+m^{2}+m=20,$整理得$m^{2}+m-2=0$,解得$m_{1}=-2,m_{2}=1,$
∴m的值为-2或1.