《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

12.(10分)(2023·泗阳期末)已知关于$x的一元二次方程(m - 1)x^{2}-3x + 2 = 0$有两个实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$m$为正整数,求此时方程的根.

答案： 解:
(1)Δ=(-3)²-4(m-1)×2=-8m+17,依题意,得$\left\{\begin{array}{l} m-1≠0,\\ -8m+17≥0,\end{array}\right. $解得m≤$\frac{17}{8}$且m≠1.
(2)由
(1)知m≤$\frac{17}{8}$且m≠1,
∵m为正整数,
∴m=2,
∴原方程为x²-3x+2=0,解得x₁=1,x₂=2.

13.(10分)(2024·工业园区期末)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若$\triangle ABC的两边AB$,$AC$的长是这个方程的两个实数根,第三边$BC的长为5$,当$\triangle ABC$是直角三角形时,求$k$的值.

答案：
(1)证明:
∵Δ=[-(2k+1)]²-4×(k²+k)=1＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)解:x²-(2k+1)x+k²+k=0,即(x-k)[x-(k+1)]=0,解得x₁=k,x₂=k+1.当BC为直角边时,k²+5²=(k+1)²,解得k=12.当BC为斜边时,k²+(k+1)²=5²,解得k₁=3,k₂=-4(不合题意,舍去).答:k的值为12或3.

14.(14分)某电商对种植成本为$20$元/千克的葡萄进行直播销售,如果按每千克$40$元销售,每天可卖出$200$千克.通过市场调查发现,如果该葡萄的售价每千克每降低$1$元,日销售量将增加$20$千克.
(1)若日利润保持不变,该葡萄的售价每千克可降低多少元？
(2)老张的线下水果店也销售同款葡萄,标价为每千克$50$元.为提高市场竞争力,促进线下销售,老张决定对该葡萄实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该葡萄至少需打几折销售？

答案： 解:
(1)设该葡萄的售价每千克降低x元,则每千克的销售利润为(40-x-20)元,日销售量为(200+20x)千克,根据题意得(40-x-20)(200+20x)=(40-20)×200,整理得x²-10x=0,解得x₁=0(不符合题意,舍去),x₂=10.答:若日利润保持不变,该葡萄的售价每千克可降低10元.
(2)设该葡萄需要打y折销售,根据题意得50×$\frac{y}{10}$≤40-10,解得y≤6,
∴y的最大值为6.答:该葡萄至少需打六折销售.