《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

11. (2024·南通期末)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+4-m= 0$.
(1)若该一元二次方程有实数解,求m的取值范围,并试从-10,-8,-4三个数中,选取一个数作为m的值,求该方程的解;
(2)当$m= 3$时,原方程有一根为n,求$n^{2}+\frac {1}{n^{2}}$的值.

答案： 解:
(1)
∵方程$x^{2}-6x+4-m=0$有实数解,
∴$(-6)^{2}-4×1×(4-m)\geq0$,解得m≥-5,
∴m的取值范围是m≥-5.
从-10,-8,-4三个数中,选取m=-4,此时原方程为$x^{2}-6x+8=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=4$.
(2)当m=3时,原方程为$x^{2}-6x+1=0$,
∵这个方程的一根为n,
∴$n^{2}-6n+1=0$,显然n≠0,将$n^{2}-6n+1=0$的两边同时除以n,得$n+\frac{1}{n}=6$,
∴$(n+\frac{1}{n})^{2}=6^{2}$,
∴$n^{2}+\frac{1}{n^{2}}+2=36$,
∴$n^{2}+\frac{1}{n^{2}}=34$.

12. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-4mx+3m^{2}= 0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若$m＞0$,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.

答案：
(1)证明:
∵a=1,b=-4m,c=3m²,
∴$b^{2}-4ac=(-4m)^{2}-4×1×3m^{2}=4m^{2}$.
∵无论m取何值,$4m^{2}\geq0$恒成立,即$b^{2}-4ac\geq0$恒成立,
∴原方程总有两个实数根.
(2)解:
∵$x^{2}-4mx+3m^{2}=0$,即$(x-m)(x-3m)=0$,
∴$x_{1}=m,x_{2}=3m$.
∵m＞0,且该方程的两个实数根的差为2,
∴3m-m=2,
∴m=1.

13. 已知a,b,c为$\triangle ABC$的三条边的长,且关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}-2bx-a+c= 0$有两个相等的实数根,试判断该三角形的形状,并说明理由.

答案： 解:该三角形是直角三角形,理由如下:
∵方程$(a+c)x^{2}-2bx-a+c=0$有两个相等的实数根,
∴判别式$(-2b)^{2}-4(a+c)(-a+c)=0$,
∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,
∴△ABC是直角三角形.

14. (2023·遂宁)我们规定:对于任意实数a,b,c,d有$[a,b]*[c,d]= ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算. 如:$[3,2]*[5,1]= 3×5-2×1= 13$.
(1)求$[-4,3]*[2,-6]$的值;
(2)已知关于x的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]= 0$有两个实数根,求m的取值范围.

答案： 解:
(1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10.
(2)根据题意得x(mx+1)-m(2x-1)=0,整理得$mx^{2}+(1-2m)x+m=0$,
∵关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,
∴$\Delta=(1-2m)^{2}-4m\cdot m\geq0$且m≠0,解得m≤$\frac{1}{4}$且m≠0.