《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

8.如图,以$\triangle ABC$的边BC为直径的$\odot O$分别交AB,AC于点D,E,连接OD,OE.若$∠A= 60^{\circ }$,则$∠DOE= $60°.

答案： 60°

9.如图,在圆O中,弦AB,CD所对的圆心角分别是$∠AOB,∠COD$,若$∠AOB和∠COD$互补,且$AB= 2,CD= 4$,则圆O的半径是______.

答案： $\sqrt{5}$

10.如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的一条弦,且$CD⊥AB$于点E.
(1)求证:$∠BCO= ∠D$;
(2)若$CD= 4\sqrt {2},OE= 1$,求$\odot O$的半径.

答案：
(1)证明:
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B.
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D.
(2)解:
∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD.
∵CD=4$\sqrt{2}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$.
在Rt△OCE中，OC²=CE²+OE².
∵OE=1，
∴OC²=(2$\sqrt{2}$)²+1².
解得OC=3或OC=-3(负数舍去).
∴⊙O的半径为3.

11.如图,在$\triangle ABC$中,$BC= AC= 6$,以BC为直径的$\odot O$与边AB相交于点D,$DE⊥AC$,垂足为E.
(1)求证:D是AB的中点;
(2)求点O到直线DE的距离.

答案：

(1)证明:连接CD，如答图.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB.
又
∵AC=BC，
∴AD=BD，即D是AB的中点.
(2)解:连接OD，如答图.
∵AD=BD，OB=OC，
∴DO是△ABC的中位线.
∴DO//AC，OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3.
又
∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO.
∴点O到直线DE的距离为3.

12.如图,AB为$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,连接AC和BC,$∠ACB的平分线交\odot O$于点D.
(1)求证:$AC+BC= \sqrt {2}CD$;
(2)已知$\odot O$的半径为5,$CD= 7\sqrt {2}$,若$AC\lt BC$,求弦AC的长.

答案：

(1)证明:如答图，过点D作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA,DB.

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD.
∴DF=DG，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴DA=DB.
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴在Rt△AFD和Rt△BGD中，$\begin{cases} AD=BD, \\ DF=DG, \end{cases}$
∴Rt△AFD≌Rt△BGD(HL)，
∴AF=BG.
同理Rt△CDF≌Rt△CDG(HL)，
∴CF=CG.
∴AC+BC=CF - AF+CG+BG=CF+CG=2CF.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°.
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD.
∴AC+BC=2CF=$\sqrt{2}$CD.
(2)解:
∵CD=7$\sqrt{2}$，
∴AC+BC=$\sqrt{2}$CD=14.
设AC=x，则BC=14 - x.
在Rt△ABC中，AB=2×5=10.
由勾股定理得x²+(14 - x)²=10².
解得x=6或x=8.
∵AC＜BC，
∴AC=6.