《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

9. (2024·无锡期中)如图,⊙O的半径是6,AB是⊙O的弦,C是AB上一点,AC= 6,BC= 2,点P是⊙O上一动点,则点P与点C之间的最大距离是(A)

A.$6 + 2\sqrt{6}$
B.12
C.$6 + \sqrt{5}$
D.不存在

答案： A

10. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP= 4,BP= 12,∠APC= 30°,则CD的长为$4\sqrt{15}$.

答案： $4\sqrt{15}$

11. 已知⊙O的半径为5,弦AB= 8,则圆上到弦AB所在直线距离为2的点有3个.

答案： 3

12. (2023·南京模拟)如图,AB为⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,连接AC,BD,∠B= 75°,∠A= 45°,AC= 2$\sqrt{2}$,则弦CD= ______$2\sqrt{3}$.

答案： $2\sqrt{3}$

13. 如图,点A,B,C在⊙O上,AB= CB= 9,AD//BC,CD⊥AD,且AD= 2.
(1)求线段CD,AC的长;
(2)求⊙O的半径.

答案：
解:
(1)如答图①,作$AE\perp BC$于点E,则$AE=DC$,$EC=AD=2$,$\therefore BE=BC - EC=9 - 2=7$,$\therefore CD=AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{9^{2}-7^{2}}=4\sqrt{2}$,$\therefore AC=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}+2^{2}}=6$.
(2)如答图②,作$BF\perp AC$于点F,连接OA.$\because AB=BC$,$\therefore AF=CF=\frac{1}{2}AC=3$,$\therefore BF=\sqrt{AB^{2}-AF^{2}}=\sqrt{9^{2}-3^{2}}=6\sqrt{2}$$\because BF$垂直平分弦$AC$,$\therefore BF$一定过圆心$O$,设$\odot O$的半径为$r$,则$OF=6\sqrt{2}-r$,在$Rt\triangle OAF$中,由勾股定理得$(6\sqrt{2}-r)^{2}+3^{2}=r^{2}$,解得$r=\frac{27\sqrt{2}}{8}$,即$\odot O$的半径为$\frac{27\sqrt{2}}{8}$.

14. 如图,在矩形ABCD中,AB= 20,AD= 15,P,Q分别是AB,AD边上的动点,PQ= 16,以PQ为直径的⊙O与BD交于点M,N,求MN的最大值.

答案：
解:过点A作$AH\perp BD$于点H,连接OM,如答图.$\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore \angle BAD=90^{\circ}$,在$Rt\triangle ABD$中,$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=25$,$\because \frac{1}{2}AH\cdot BD=\frac{1}{2}AD\cdot AB$,$\therefore AH=\frac{20×15}{25}=12$.$\because \odot O$的直径为16,$\therefore \odot O$的半径为8,$\because$当点$O$在$AH$上时,$OH$最短,且$HM=\sqrt{OM^{2}-OH^{2}}$,$\therefore$此时$HM$取得最大值.$\because OH=AH - OA=4$,$\therefore HM$的最大值为$\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$.$\because OH\perp MN$,$\therefore MN=2MH$,$\therefore MN$的最大值为$2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.