《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1.(2024·泸州)如图,EA,ED是$\odot O$的切线,切点为A,D,点B,C在$\odot O$上,若$∠BAE+∠BCD= 236^{\circ }$,则$∠E= $ (C)
A.$56^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$68^{\circ }$
D.$70^{\circ }$

答案： 连接$OA、$$OD$　　
∵$∠BAE+∠BCD=236°$　　
∴$\widehat{BCA}+\widehat{BAD}=236°×2=472°$　　
∴$\widehat{AD}+\widehat{BCD}+\widehat{BAD}=472°$　　
∴$\widehat{AD}=472°-360°=112°$　　
∴$∠AOD=112°$　　
∵$∠EAO=∠EDO=90°$　　
∴$∠E=180°-∠AOD=68°$　　
所以答案是$C。$　　

2.(2023·徐州)如图,在$\odot O$中,直径AB与弦CD交于点E.$\widehat {AC}= 2\widehat {BD}$,连接AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F.若$∠AFB= 68^{\circ }$,则$∠DEB= $66°.

答案： 66

3.(2023·河南)如图,PA与$\odot O$相切于点A,PO交$\odot O$于点B,点C在PA上,且$CB= CA$.若$OA= 5,PA= 12$,则CA的长为$\frac{10}{3}$.

答案： $\frac{10}{3}$

4.(2024·凉山州)如图,$\odot M的圆心为M(4,0)$,半径为2,P是直线$y= x+4$上的一个动点,过点P作$\odot M$的切线,切点为Q,则PQ的最小值为______.

答案： $2\sqrt{7}$

5.如图,已知直线PA交$\odot O$于A,B两点,AE是$\odot O$的直径,点C为$\odot O$上一点,且AC平分$∠PAE$.
(1)过点C作$\odot O$的切线交BP于点D,求证:$CD⊥PA$;
(2)若$\odot O$的半径为5,$AB= 6$,求BD的长.

答案：

(1)证明:如答图，连接OC，$\because OA=OC$，
$\therefore \angle OCA=\angle OAC$；
$\because AC$平分$\angle PAE$，
$\therefore \angle DAC=\angle CAO$，$\therefore \angle DAC=\angle OCA$，$\therefore PA// OC$，
$\because OC$为$\odot O$的半径，$CD$为$\odot O$的切线，
$\therefore OC\perp CD$，$\therefore CD\perp PA$。
(2)解:如答图，过点$O$作$OF\perp AB$交$BP$于点$F$，
$\therefore AF=BF=\frac{1}{2}AB$，$\angle OFD=90^{\circ}$，
由
(1)知$\angle OCD=\angle CDA=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$DCOF$为矩形，$\therefore DF=OC=5$，
$\therefore BD=DF+BF=OC+\frac{1}{2}AB=5+\frac{1}{2}×6=8$。

6.(2024·宿迁)如图,在$\odot O$中,AB是直径,CD是弦,且$AB⊥CD$,垂足为E，AB=20，CD=12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD=2∠B.求证：CF是$\odot $O的切线

答案： 证明:连接$OC$。$\because OB=OC$，$\therefore \angle B=\angle OCB$。
$\therefore \angle EOC=\angle B+\angle OCB=2\angle B$。
$\because \angle FCD=2\angle B$，
$\therefore \angle FCD=\angle EOC$。
$\because AB\perp CD$，$\therefore \angle ECO+\angle EOC=90^{\circ}$。
$\therefore \angle FCE+\angle ECO=90^{\circ}$。$\therefore CF\perp OC$。
$\because$点$C$在$\odot O$上，$\therefore CF$是$\odot O$的切线。