《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

8. 如图,在正六边形ABCDEF中,点M是边EF的中点,连接AE,CM,相交于点N.若正六边形ABCDEF的面积为12,阴影部分①的面积为a,阴影部分②的面积为b,则$b - a$的值是 (D)
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.1
C.$\sqrt{3}$
D.2

答案： D

9. 如图,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是$(0,a),(-3,2),(b,m),(c,m)$,则点E的坐标是______(3,2).

答案： (3,2)

10. 如图,在平面直角坐标系中,多边形ABCDEF是中心为原点O,顶点A,D在x轴上,边长为4的正六边形,则顶点F的坐标为(−2,2$\sqrt{3}$).

答案： (−2,2$\sqrt{3}$)

11. 如图,$\odot O$是边长为1的正方形ABCD的外接圆,P为$\overset{\frown}{AD}$上不同于点A,D的任意一点,则$PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+PD^{2}$的值为4.

答案： 4

12. 如图,在正六边形ABCDEF中,AB= 2,P是ED的中点,连接AP,求AP的长.

答案：
解:如答图，连接AE,过点F作FH⊥AE,垂足为H;
　　　　　　　　
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=DE=EF=FA=2,∠AFE=∠DEF=120°,
∴∠FAE=∠FEA=30°.
∴∠AEP=90°,FH=$\frac{1}{2}$EF=1,
∴AH=$\sqrt{3}$,
∴AE=2$\sqrt{3}$.
∵P是ED的中点,
∴EP=$\frac{1}{2}$ED=1,
∴AP=$\sqrt{AE^2+EP^2}=\sqrt{12 + 1}=\sqrt{13}$.

13. 如图①,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过点P作PM$//$AB交AF于点M,作PN$//$CD交DE于点N.
(1)①$∠MPN$= ______;②求证:$PM + PN = 3a$.
(2)如图②,O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM= ON.

答案：

(1)①60°
　②证明:如答图①,作AG⊥MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K.
　　　　　　　
∵PM//AB,PN//CD,
　∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=120°,
∴∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°,
　AG=BH,CL=DK,
∴∠MAG=∠PBH=∠PCL=∠NDK=30°,
　△AGM≌△BHP,△CLP≌△DKN,
∴GM=HP=$\frac{1}{2}$BP,PL=NK=$\frac{1}{2}$PC,
∵BP+PC=a,
∴MG+HP+PL+KN=a,
　又
∵GH=LK=a,
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a.
(2)证明:如答图②,连接OB,OE.
　　　　　　　
∵O是AD的中点，
∴O是正六边形ABCDEF的中心，
∴E,O,B三点共线,且PN//BE,
　由
(1)易知EN=PB=AM.
∵∠MAO=∠OEN=60°,OA=OE,
　在△OMA和△ONE中，$\begin{cases} OA = OE, \\ \angle MAO = \angle OEN, \\ AM = EN, \end{cases}$
∴△OMA≌△ONE(SAS),
∴OM=ON.