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1. 已知a是方程$x^{2}-27x+1= 0$的根,则$2a^{2}-53a+\frac {27}{a^{2}+1}=$
25
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答案：
25 解析：
∵a是方程$x^{2}-27x+1=0$的根，
$\therefore a^{2}-27a+1=0,\therefore a^{2}+1=27a,a^{2}-27a=-1,$
$\therefore 2a^{2}-53a+\frac {27}{a^{2}+1}=2(a^{2}-27a)+a+\frac {27}{27a}=2×(-1)+\frac {a^{2}+1}{a}=-2+\frac {27a}{a}=-2+27=25.$
∵a是方程$x^{2}-27x+1=0$的根，
$\therefore a^{2}-27a+1=0,\therefore a^{2}+1=27a,a^{2}-27a=-1,$
$\therefore 2a^{2}-53a+\frac {27}{a^{2}+1}=2(a^{2}-27a)+a+\frac {27}{27a}=2×(-1)+\frac {a^{2}+1}{a}=-2+\frac {27a}{a}=-2+27=25.$
2. 已知a是方程$x^{2}-3x+1= 0$的根,求代数式$\frac {2a^{5}-6a^{4}+2a^{3}-a^{2}-1}{3a}$的值.
答案：
解：
∵a是方程$x^{2}-3x+1=0$的根，
$\therefore a^{2}-3a+1=0,\therefore a^{2}-3a=-1,a^{2}+1=3a,$
原式$=\frac {2a^{3}(a^{2}-3a)+2a^{3}-(a^{2}+1)}{3a}=\frac {-3a}{3a}=-1.$
∵a是方程$x^{2}-3x+1=0$的根，
$\therefore a^{2}-3a+1=0,\therefore a^{2}-3a=-1,a^{2}+1=3a,$
原式$=\frac {2a^{3}(a^{2}-3a)+2a^{3}-(a^{2}+1)}{3a}=\frac {-3a}{3a}=-1.$
3. 已知三个关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 1$,$bx^{2}+cx+a= -3$,$cx^{2}+ax+b= 2$恰好有一个相同的实数根,求$a+b+c$的值.
答案：
解：设这个相同的实数根为t，
把$x=t$代入$ax^{2}+bx+c=1,bx^{2}+cx+a=-3,cx^{2}+ax+b=2$，得
$at^{2}+bt+c=1,bt^{2}+ct+a=-3,ct^{2}+at+b=2,$
三式相加并整理得$(a+b+c)t^{2}+(b+c+a)t+(a+b+c)=0,$
$(a+b+c)(t^{2}+t+1)=0,$
$\because t^{2}+t+1=(t+\frac {1}{2})^{2}+\frac {3}{4}＞0,$
$\therefore a+b+c=0.$
把$x=t$代入$ax^{2}+bx+c=1,bx^{2}+cx+a=-3,cx^{2}+ax+b=2$，得
$at^{2}+bt+c=1,bt^{2}+ct+a=-3,ct^{2}+at+b=2,$
三式相加并整理得$(a+b+c)t^{2}+(b+c+a)t+(a+b+c)=0,$
$(a+b+c)(t^{2}+t+1)=0,$
$\because t^{2}+t+1=(t+\frac {1}{2})^{2}+\frac {3}{4}＞0,$
$\therefore a+b+c=0.$
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