《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

9. (2023·建邺区期末)若关于 x 的方程$(k-1)x^{2}-2kx+k+3= 0$有实数根,求k的取值范围.

答案： 解:当$k-1=0$,且$-2k\neq 0$,即$k=1$时,方程为一元一次方程,有解,满足条件.当$k-1\neq 0$,且$\Delta \geqslant 0$,即$\Delta =4k^{2}-4(k-1)(k+3)=4(3-2k)\geqslant 0$时,方程有实数根,解得$k\leqslant \frac{3}{2}$且$k\neq 1$.综上所述,$k$的取值范围为$k\leqslant \frac{3}{2}$.

10. 一元二次方程$x^{2}-3x-1= 0与x^{2}-x+3= 0$的所有实数根的和等于 (D)
A.2
B.-4
C.4
D.3

答案： D

11. (2024·鼓楼期中)若关于 x 的方程$x^{2}+2x+a= 0$两根同号,则a的取值范围是$0 ＜ a \leqslant 1$.

答案： $0 ＜ a \leqslant 1$

12. 关于 x 的一元二次方程$x^{2}+(2m-1)x+m^{2}= 0$有实数根,若两根为$x_{1},x_{2}且x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 7$.求m的值.

答案： 解:$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2m-1)x+m^{2}=0$有实数根,$\therefore b^{2}-4ac=(2m-1)^{2}-4× 1× m^{2}=-4m+1\geqslant 0$,解得$m\leqslant \frac{1}{4}$.$\because x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+(2m-1)x+m^{2}=0$的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=1-2m,x_{1}x_{2}=m^{2}$,$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=7$,即$(1-2m)^{2}-2m^{2}=7$,整理得$m^{2}-2m-3=0$,解得$m_{1}=-1,m_{2}=3$.又$\because m\leqslant \frac{1}{4},\therefore m=-1$.

13. 已知关于 x 的方程$x^{2}-mx+10= 0$的两根a,b是一个直角三角形的两直角边长,若该三角形的斜边长为5,则$m=$$3\sqrt{5}$.

答案： $3\sqrt{5}$

14. $\triangle ABC$的一边长为 5,另外两边的长恰好是方程$2x^{2}-12x+m= 0$的两个根,则m的取值范围为$\frac{11}{2} ＜ m \leqslant 18$.

答案： $\frac{11}{2} ＜ m \leqslant 18$

15. 在等腰三角形 ABC 中,其两边长为方程$x^{2}-mx+3= 0$的两个根,已知等腰三角形 ABC 的一边长为 3,则$\triangle ABC$的周长为$2\sqrt{3}+3$或7.

答案： $2\sqrt{3}+3$或7

16. 在等腰三角形 ABC 中,两边的长分别为 a,b,其中$a= 5$,若关于 x 的方程$x^{2}+(b+2)x+6-b= 0$有两个相等的实数根,求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解:$\because$关于$x$的方程$x^{2}+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根,$\therefore$判别式$(b+2)^{2}-4(6-b)=0$,即$b^{2}+8b-20=0$,解得$b=2$或$b=-10$(舍去).①当$a$为底,$b$为腰时,$2+2 ＜ 5$,构不成三角形,此种情况不成立.②当$b$为底,$a$为腰时,$5-5 ＜ 2 ＜ 5+5$,能构成三角形,此时$\triangle ABC$的周长为$5+5+2=12$.综上,$\triangle ABC$的周长是12.

17. (2023·钟吾初中期中)已知$\triangle ABC$的两边 AB,AC 的长是关于 x 的一元二次方程$x^{2}-2(n-1)x+n^{2}-2n= 0$的两个根,第三边 BC 的长是 10.
(1)求证:无论n取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)当n为何值时,$\triangle ABC$为等腰三角形? 求出此时$\triangle ABC$的周长;
(3)当n为何值时,$\triangle ABC$是以 BC 为斜边的直角三角形?

答案：
(1)证明:$\because \Delta =[-2(n-1)]^{2}-4(n^{2}-2n)=4＞0$,$\therefore$无论$n$取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:由
(1)得,无论$n$取何值,此方程总有两个不相等的实数根,$\because$第三边$BC$的长是10,$\therefore$当$\triangle ABC$为等腰三角形时,$x=10$为方程$x^{2}-2(n-1)x+n^{2}-2n=0$的一个根,代入,得$100-20(n-1)+n^{2}-2n=0$,解得$n=12$或$n=10$.①当$n=12$时,方程变为$x^{2}-22x+120=0$,设等腰三角形的底边长为$m$,根据根与系数的关系,得$m+10=22,\therefore m=12$,$\therefore \triangle ABC$的周长为$10+10+12=32$.②当$n=10$时,方程变为$x^{2}-18x+80=0$,设等腰三角形的底边长为$n$,根据根与系数的关系,得$10+n=18$,解得$n=8$,$\therefore \triangle ABC$的周长为$10+10+8=28$.综上,当$n=12$时,$\triangle ABC$是等腰三角形,此时$\triangle ABC$的周长为32;当$n=10$时,$\triangle ABC$是等腰三角形,此时$\triangle ABC$的周长为28.
(3)解:$\because AB,AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(n-1)x+n^{2}-2n=0$的两个根,$\therefore AB+AC=2(n-1),AB\cdot AC=n^{2}-2n$,$\because \triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形,且$BC=10$,$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$,即$4(n-1)^{2}-2(n^{2}-2n)=100$,解得$n=8$或$n=-6$.当$n=8$时,$AB+AC=2× (8-1)=14$,符合题意;当$n=-6$时,$AB+AC=2× (-6-1)=-14$,不符合题意,舍去.综上,当$n=8$时,$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形.