《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

12. 解下列方程：
(1)(宿豫期末)$3x^{2}-4x + 1 = 0$；
(2) $-3t^{2}+2t + 5 = 0$；
(3) $2y^{2}-\sqrt{2}y - 2 = 0$；
(4) $6x - 1 = 5x^{2}$.

答案：
(1)$x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{3}$.
(2)$t_{1}=-1,t_{2}=\frac{5}{3}$.
(3)$y_{1}=\sqrt{2},y_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(4)$x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{5}$.

13. 求证：对于任意实数 $m$,关于 $x$ 的方程 $(-2m^{2}+8m - 12)x^{2}-5x + 2 = 0$ 都是一元二次方程.

答案： 证明:$\because -2m^{2}+8m-12=-2(m-2)^{2}-4$,且对于任意实数m,总有$(m-2)^{2}\geq0$,$\therefore -2(m-2)^{2}\leq0$,$\therefore -2(m-2)^{2}-4\leq-4$,$\therefore$对于任意实数m,代数式$-2m^{2}+8m-12$的值总不等于0,$\therefore$对于任意实数m,关于x的方程$(-2m^{2}+8m-12)x^{2}-5x+2=0$都是一元二次方程.

14. (2024·南通期中)已知实数 $a$,$b$ 满足 $(a^{2}+4a + 6)(2b^{2}-4b + 7)\leqslant10$,求 $a + 2b$ 的值.

答案： 解:$\because (a^{2}+4a+6)(2b^{2}-4b+7)\leq10$,$\therefore (a^{2}+4a+4+2)(2b^{2}-4b+2+5)\leq10$,$\therefore [(a+2)^{2}+2][2(b-1)^{2}+5]\leq10$,当$a=-2$时,$(a+2)^{2}+2$有最小值,为2,当$b=1$时,$2(b-1)^{2}+5$有最小值,为5,而$[(a+2)^{2}+2][2(b-1)^{2}+5]\leq10$,显然只有两个因式都取最小值时成立.$\therefore a=-2,b=1$,$\therefore a+2b=-2+2=0$.