《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

11.(8分)(2023·泰州期中)已知关于$x的方程(a^{2}-4a+5)x^{2}+2ax+4= 0$。
(1)求证：无论$a$取任何实数,方程都是一元二次方程；
(2)当$a= 2$时,解这个方程。

答案：
(1)证明:$a^2-4a+5=(a^2-4a+4)+1=(a-2)^2+1$,
∵$(a-2)^2\geq0$,
∴$(a-2)^2+1\neq0$,
∴无论a取任何实数,关于x的方程$(a^2-4a+5)x^2+$2ax+4=0都是一元二次方程.
(2)解:当a=2时,原方程变为$x^2+4x+4=0$,解得$x_1=x_2=-2$.

12.(10分)新定义定义：如果关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)满足b= a+c$,那么我们称这个方程为“完美方程”。
(1)下面方程是“完美方程”的是______。(填序号)
①$x^{2}-4x+3= 0$；②$2x^{2}+x+3= 0$；③$2x^{2}-x-3= 0$。
(2)已知$3x^{2}+mx+n= 0是关于x$的“完美方程”,若$m$是此“完美方程”的一个根,求$m$的值。
③
解:∵$3x^2+mx+n=0$是关于x的"完美方程",∴m=3+n,∴n=m-3,∴原方程为$3x^2+mx+m-3=0$.∵m是此"完美方程"的一个根,∴$3m^2+m^2+m-3=0$,即$4m^2+m-3=0$,解得m=-1或$m=\frac{3}{4}$.

答案：
(1)③
(2)解:
∵$3x^2+mx+n=0$是关于x的"完美方程",
∴m=3+n,
∴n=m-3,
∴原方程为$3x^2+mx+m-3=0$.
∵m是此"完美方程"的一个根,
∴$3m^2+m^2+m-3=0$,即$4m^2+m-3=0$,解得m=-1或$m=\frac{3}{4}$.

13.(12分)(2024·宿城区期末)先阅读下面的例题,再按要求解答问题：
求代数式$x^{2}+6x+10$的最小值。
解：$x^{2}+6x+10= x^{2}+6x+9+1= (x+3)^{2}+1$,
$\because(x+3)^{2}\geq0$,$\therefore(x+3)^{2}+1\geq1$,
$\therefore x^{2}+6x+10$的最小值是1。
请利用以上方法,解答下列问题：
(1)代数式$x^{2}-4x+3$的最小值为-1；
(2)已知$a,b$为实数,试比较$4a^{2}+b^{2}+11与12a-2b$的大小关系,并说明理由；
解:$4a^2+b^2+11＞12a-2b$.理由如下:$4a^2+b^2+11-(12a-2b)=4a^2+b^2+11-12a+2b=(4a^2-12a+9)+(b^2+2b+1)+1=(2a-3)^2+(b+1)^2+1$,∵$(2a-3)^2\geq0$,$(b+1)^2\geq0$,∴$(2a-3)^2+(b+1)^2+1\geq1＞0$,∴$4a^2+b^2+11＞12a-2b$.
(3)已知有理数$x,y满足-x^{2}+3x+y-5= 0$,求$x+y$的最小值。
解:∵$-x^2+3x+y-5=0$,∴$y=x^2-3x+5$,∴$x+y=x^2-2x+5=(x-1)^2+4\geq4$,∴当x=1时,x+y最小,最小值为4.

答案：
(1)-1
(2)解:$4a^2+b^2+11＞12a-2b$.理由如下:$4a^2+b^2+11-(12a-2b)=4a^2+b^2+11-12a+2b=(4a^2-12a+9)+(b^2+2b+1)+1=(2a-3)^2+(b+1)^2+1$,
∵$(2a-3)^2\geq0$,$(b+1)^2\geq0$,
∴$(2a-3)^2+(b+1)^2+1\geq1＞0$,
∴$4a^2+b^2+11＞12a-2b$.
(3)解:
∵$-x^2+3x+y-5=0$,
∴$y=x^2-3x+5$,
∴$x+y=x^2-2x+5=(x-1)^2+4\geq4$,
∴当x=1时,x+y最小,最小值为4.