《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

10.解下列方程：
(1)$x^{2}+6x= -7$；
(2)$x^{2}-1= 3x+3$；
(3)$y^{2}= 2(y-1)$；
(4)$x^{2}-\sqrt {6}x-\frac {9}{2}= 0$.

答案： $(1)$ 解方程$x^{2}+6x = -7$
解：
将方程化为标准的一元二次方程形式$ax^{2}+bx + c = 0$，在方程$x^{2}+6x + 7 = 0$中，$a = 1$，$b = 6$，$c = 7$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta = 6^{2}-4×1×7=36 - 28 = 8$。
再代入求根公式：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{8}}{2×1}=\frac{-6\pm2\sqrt{2}}{2}=-3\pm\sqrt{2}$。
所以$x_{1}=-3 + \sqrt{2}$，$x_{2}=-3 - \sqrt{2}$。
$(2)$ 解方程$x^{2}-1 = 3x + 3$
解：
先将方程化为标准形式：$x^{2}-3x - 4 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b=-3$，$c = -4$），我们可以使用因式分解法，将方程分解为$(x - 4)(x + 1)=0$。
则$x - 4 = 0$或$x + 1 = 0$，
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-1$。
$(3)$ 解方程$y^{2}=2(y - 1)$
解：
化为标准形式：$y^{2}-2y + 2 = 0$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$（其中$a = 1$，$b=-2$，$c = 2$）：
$\Delta=(-2)^{2}-4×1×2=4 - 8=-4\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
$(4)$ 解方程$x^{2}-\sqrt{6}x-\frac{9}{2}=0$
解：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b = -\sqrt{6}$，$c=-\frac{9}{2}$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-\sqrt{6})^{2}-4×1×(-\frac{9}{2})=6 + 18 = 24$。
再代入求根公式：
$x=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{\sqrt{6}\pm2\sqrt{6}}{2}$。
即$x_{1}=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{6}}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
综上，$(1)$ $x_{1}=-3 + \sqrt{2}$，$x_{2}=-3 - \sqrt{2}$；$(2)$ $x_{1}=4$，$x_{2}=-1$；$(3)$ 无实数根；$(4)$ $x_{1}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$。

11.(2024·无锡期中)已知关于$x的一元二次方程(a+2)x^{2}+3x+a^{2}-4= 0$.
(1)若方程有一个根为$0$,求实数$a$的值；
(2)当$a= 1$时,用配方法解方程.

答案： 解:
(1)把$x=0$代入方程得,$a^{2}-4=0$,即$a^{2}=4$,直接开平方得,$a=2$或$a=-2$,
当$a=-2$时,方程为$3x=0$,不符合题意,舍去.
所以$a=2$.
(2)把$a=1$代入方程得,$3x^{2}+3x-3=0$,即$x^{2}+x=1$,
配方得,$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$,即$(x+\frac{1}{2})^{2}=\frac{5}{4}$,
直接开平方得,$x+\frac{1}{2}=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$,
解得$x_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

12.(2024·崇文月考)已知等腰$\triangle ABC的三边长a$,$b$,$c$都是正整数,且满足$2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11= 0$,求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解:$\because 2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11=0$,
$\therefore 2a^{2}-4a+2+b^{2}-6b+9=0$,
$\therefore 2(a-1)^{2}+(b-3)^{2}=0$,
则$a-1=0$,$b-3=0$,解得$a=1$,$b=3$.
由三角形三边关系可知,等腰$\triangle ABC$的三边长分别为1,3,3,
$\therefore \triangle ABC$的周长为$1+3+3=7$.

13.(2023·淮安期中)在教材中,我们学习到$(a-b)^{2}= a^{2}-2ab+b^{2}$,因为任何实数的平方都是非负数,所以$(a-b)^{2}≥0$,即$a^{2}+b^{2}≥2ab$.例如,比较整式$x^{2}+4与4x$的大小关系,因为$x^{2}+4-4x= (x-2)^{2}≥0$,所以$x^{2}+4≥4x$.
请类比以上解题过程,解决下列问题：
(1)比较大小：$x^{2}+1$$\geqslant$$2x$；$9$$\geqslant$$6x-x^{2}$.
(2)比较整式$5x^{2}+2xy+10y^{2}与(2x-y)^{2}$的大小关系,并说明理由.
(2)解:$5x^{2}+2xy+10y^{2}\geqslant (2x-y)^{2}$.理由如下:
$\because 5x^{2}+2xy+10y^{2}-(2x-y)^{2}$
$=5x^{2}+2xy+10y^{2}-4x^{2}+4xy-y^{2}$
$=x^{2}+6xy+9y^{2}=(x+3y)^{2}\geqslant 0$,
$\therefore 5x^{2}+2xy+10y^{2}\geqslant (2x-y)^{2}$.
(3)比较整式$2a^{2}-4ab+4b^{2}与2a-1$的大小关系,并说明理由.
(3)解:$2a^{2}-4ab+4b^{2}\geqslant 2a-1$.理由如下:
$\because 2a^{2}-4ab+4b^{2}-(2a-1)$
$=a^{2}-4ab+4b^{2}+a^{2}-2a+1$
$=(a-2b)^{2}+(a-1)^{2}\geqslant 0$,
$\therefore 2a^{2}-4ab+4b^{2}\geqslant 2a-1$.

答案：
(1)$\geqslant$ $\geqslant$
(2)解:$5x^{2}+2xy+10y^{2}\geqslant (2x-y)^{2}$.理由如下:
$\because 5x^{2}+2xy+10y^{2}-(2x-y)^{2}$
$=5x^{2}+2xy+10y^{2}-4x^{2}+4xy-y^{2}$
$=x^{2}+6xy+9y^{2}=(x+3y)^{2}\geqslant 0$,
$\therefore 5x^{2}+2xy+10y^{2}\geqslant (2x-y)^{2}$.
(3)解:$2a^{2}-4ab+4b^{2}\geqslant 2a-1$.理由如下:
$\because 2a^{2}-4ab+4b^{2}-(2a-1)$
$=a^{2}-4ab+4b^{2}+a^{2}-2a+1$
$=(a-2b)^{2}+(a-1)^{2}\geqslant 0$,
$\therefore 2a^{2}-4ab+4b^{2}\geqslant 2a-1$.