《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

10.(15分)(2023·福建)如图,已知△ABC内接于⊙O,CO的延长线交AB于点D,交⊙O于点E,交⊙O的切线AF于点F,且AF//BC.
(1)求证：AO//BE；
(2)求证：AO平分∠BAC.

答案： 证明:
(1)
∵AF是$\odot O$的切线，
∴AF⊥OA,即$∠OAF=90^{\circ },$
∵CE是$\odot O$的直径,
∴$∠CBE=90^{\circ },$
∴$∠OAF=∠CBE$,
∵AF//BC,
∴$∠BAF=∠ABC$,
∴$∠OAF - ∠BAF=∠CBE - ∠ABC$,即$∠OAB=∠ABE$,
∴AO//BE.
(2)
∵$∠ABE$与$∠ACE$都是$\widehat {EA}$所对的圆周角，
∴$∠ABE=∠ACE$,
∵OA=OC,
∴$∠ACE=∠OAC$,
∴$∠ABE=∠OAC$,由
(1)知,$∠OAB=∠ABE$,
∴$∠OAB=∠OAC$,
∴AO平分$∠BAC$.

11.(15分)在Rt△ABC中,∠C= 90°.
(1)如图①,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相切于点F.求证：∠1= ∠2.
(2)在图②中作⊙M,使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切.(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)

答案：

(1)证明:如答图①，连接OF.
∵AC是$\odot O$的切线，
∴OF⊥AC,
∵$∠C=90^{\circ }$,
∴OF//BC,
∴$∠1=∠OFB$,
∵OF=OB,
∴$∠OFB=∠2$,
∴$∠1=∠2$.
(2)解:如答图②,$\odot M$为所求.①作$∠ABC$的平分线交AC于点F;②作BF的垂直平分线交AB于点M;③以点M为圆心、MB长为半径作圆,$\odot M$即为所求.

12.(16分)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,在AC上取一点D,以AD为直径作⊙O,与AB相交于点E,作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N,连接EN.
(1)求证：EN是⊙O的切线；
(2)若AC= 3,BC= 4,⊙O的半径为1,求线段EN的长.

答案：
(1)证明:如答图，连接OE.
∵OA=OE,
∴$∠OAE=∠OEA$.
∵MN是EB的垂直平分线，
∴NE=NB,
∴$∠B=∠NEB$,
∵△ABC是直角三角形,$∠ACB=90^{\circ }$,
∴$∠B+∠A=90^{\circ }$,
∴$∠NEB+∠OEA=90^{\circ }$,
∴$∠OEN=180^{\circ } - 90^{\circ }=90^{\circ }$,即OE⊥EN.
∵OE是$\odot O$的半径，
∴EN是$\odot O$的切线.
(2)解:如答图，连接ON.
∵MN是BE的垂直平分线，
∴NE=NB.设EN=BN=x,在$Rt△CON$中,$ON^{2}=OC^{2}+CN^{2},$在$Rt△OEN$中,$ON^{2}=OE^{2}+EN^{2},$
∴$OC^{2}+CN^{2}=OE^{2}+EN^{2},$即$(3 - 1)^{2}+(4 - x)^{2}=1^{2}+x^{2}$,解得$x=\frac {19}{8}$,
∴线段EN的长为$\frac {19}{8}$.