《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

7.(2024·甘肃)如图,AB是$\odot O$的直径,$\widehat {BC}= \widehat {BD}$,点E在AD的延长线上,且$∠ADC= ∠AEB$,连接AC.求证:BE是$\odot O$的切线.

答案：
证明:如答图，连接$BD$，$OC$，$OD$，设$AB$与$CD$交于点$F$。$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$\therefore BC=BD$。

$\because OC=OD$，$\therefore$点$O$，$B$在$CD$的垂直平分线上，
$\therefore OB$垂直平分$CD$，$\therefore \angle AFD=90^{\circ}$。
$\because \angle ADC=\angle AEB$，$\therefore CD// BE$，
$\therefore \angle ABE=\angle AFD=90^{\circ}$，$\therefore AB\perp BE$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore BE$是$\odot O$的切线。

8.如图①,AB是$\odot O$的直径,AD与$\odot O$相切于点A,DE与$\odot O$相切于点E,点C为DE延长线上一点,且$CE= CB$.
(1)求证:BC为$\odot O$的切线;
(2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示).若$\odot O的半径为\sqrt {5},AD= 2$,求线段CE和GE的长.

答案：

(1)证明:如答图①，连接$OE$，$OC$。

$\because$在$\triangle OBC$和$\triangle OEC$中，$\begin{cases} CB=CE \\ OB=OE \\ OC=OC \end{cases}$
$\therefore \triangle OBC\cong\triangle OEC(SSS)$，$\therefore \angle OBC=\angle OEC$；
又$\because DE$与$\odot O$相切于点$E$，$\therefore \angle OEC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle OBC=90^{\circ}$，
$\because OB$为$\odot O$的半径，$\therefore BC$为$\odot O$的切线。
(2)解:如答图②，过点$D$作$DF\perp BC$于点$F$，连接$BE$，易知$DF=AB=2\sqrt{5}$。

$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore \angle AEB=90^{\circ}$。
$\because AD$，$DC$，$BG$分别切$\odot O$于点$A$，$E$，$B$，
$\therefore DA=DE$，$CE=CB$。设$BC$的长为$x$，
则$CF=x - 2$，$DC=x + 2$。
在$Rt\triangle DFC$中，$(x + 2)^2-(x - 2)^2=(2\sqrt{5})^2$，
解得$x=\frac{5}{2}$，$\therefore CE=BC=\frac{5}{2}$。
易知$AD// BG$，$\therefore \angle DAE=\angle EGC$；
$\because DA=DE$，$\therefore \angle DAE=\angle AED$。
$\because \angle AED=\angle CEG$，$\therefore \angle EGC=\angle CEG$，
$\therefore CG=CE=CB=\frac{5}{2}$，$\therefore BG=5$，
$\therefore AG=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 5^2}=3\sqrt{5}$。
$\therefore S_{\triangle ABG}=\frac{1}{2}AB\cdot BG=\frac{1}{2}AG\cdot BE$，$\therefore BE=\frac{10}{3}$。
在$Rt\triangle BEG$中，$EG=\sqrt{BG^2 - BE^2}=\frac{5}{3}\sqrt{5}$。

9.如图,AB是$\odot O$的直径,AC是$\odot O$的弦,点P为AB延长线上一点,连接CP,$∠BCP= ∠A$,
$∠ACB$的平分线与直径AB交于点E,交$\odot O$于点D.
(1)求证:CP是$\odot O$的切线;
(2)求证:$PE= PC$;
(3)探究$AC+BC$与CD之间的数量关系,并说明理由.

答案：

(1)证明:如答图①，连接$OC$。

$\because OA=OC$，$\therefore \angle A=\angle ACO$。
又$\because \angle BCP=\angle A$，$\therefore \angle ACO=\angle BCP$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore \angle ACO+\angle BCO=90^{\circ}$。
$\therefore \angle PCB+\angle BCO=90^{\circ}$，即$\angle OCP=90^{\circ}$，
$\because OC$为$\odot O$的半径，$\therefore CP$是$\odot O$的切线。
(2)证明:$\because CE$平分$\angle ACB$，$\therefore \angle ACD=\angle BCD$。
$\because \angle PCE=\angle PCB+\angle BCE$，$\angle PEC=\angle ACD+\angle A$，
且$\angle PCB=\angle A$，$\therefore \angle PCE=\angle PEC$。$\therefore PC=PE$。
(3)解:$AC + BC=\sqrt{2}CD$。理由如下:
如答图②，连接$AD$，$BD$，过点$D$作$DM\perp AC$于点$M$，过点$D$作$DN\perp CB$交$CB$的延长线于点$N$。

$\because CD$平分$\angle ACB$，$DM\perp AC$，$DN\perp CB$，
$\therefore DM=DN$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\therefore AD=BD$。
$\therefore Rt\triangle AMD\cong Rt\triangle BND$，$\therefore AM=BN$。
易证四边形$CMDN$为正方形，$\therefore CD=\sqrt{2}CN$。
而$AC + BC=CM + AM + CB=CM + CB + BN=CM + CN=2CN$。$\therefore AC + BC=\sqrt{2}CD$。