《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

8.如图,点A,B,C,D,E都是圆O上的点,$\widehat {AC}= \widehat {AE},∠B= 116^{\circ }$,则$∠D$的度数为____128°.

答案： 128°

9.如图,点A,B,C,D,E在$\odot O$上,$\widehat {AB}的度数为30^{\circ }$,则$∠E+∠C= $165°.

答案： 165°

10.(2023·玄武区模拟)如图,在扇形AOB中,点C,D在$\widehat {AB}$上,连接AD,BC交于点E,若$∠AOB= 120^{\circ },\widehat {CD}的度数为50^{\circ }$,则$∠AEB= $145$^{\circ }$.

答案： 145°

11.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,交AC于点E,连接BE.
(1)若$AB= 6,CD= 2$,求CE的长;
(2)当$∠A$为锐角时,判断$∠BAC与∠CBE$的关系,并证明你的结论.

答案： 解:连接AD.　
(1)
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC,BE⊥AC;
∵AB=AC=6,
∴BD=CD=2,
∴BC=4.　由勾股定理,得BE²=AB² - AE²,BE²=BC² - CE²,即AB² - AE²=BC² - CE².　设CE=x,则6² - (6 - x)²=4² - x²,　解得x=$\frac{4}{3}$,即CE=$\frac{4}{3}$.　
(2)∠BAC=2∠CBE.证明如下:
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°,∠BEA=90°.
∴∠CAD+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°,
∴∠CAD=∠CBE;
∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BAC=2∠CAD=2∠CBE.

12.如图,$\odot O$的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F.
(1)若$∠E= ∠F$,求证:$∠ADC= ∠ABC$;
(2)若$∠E= ∠F= 42^{\circ }$,求$∠A$的度数;
(3)若$∠E= α,∠F= β$,且$α≠β$,请你用含有α,β的代数式表示$∠A$的度数.

答案：

(1)证明:
∵∠E=∠F,∠DCE=∠BCF,　∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,
　
∴∠ADC=∠ABC;　
(2)解:由
(1)知∠ADC=∠ABC,
　
∵∠EDC=∠ABC,
　
∴∠EDC=∠ADC,
　
∴∠ADC=90°,
　
∴∠A=90° - 42°=48°.　
(3)解:连接EF,如答图.　　　　　　　　
　
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ECD=∠A,
∵∠ECD=∠1+∠2,
∴∠A=∠1+∠2,
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180°,
∴2∠A+α+β=180°,
∴∠A=90° - $\frac{α + β}{2}$.

13.如图,四边形ABCD内接于$\odot O,∠ABC= 60^{\circ }$,对角线DB平分$∠ADC$.
(1)求证:$\triangle ABC$是等边三角形;
(2)过点B作$BE// CD$交DA的延长线于点E,若$AD= 2,DC= 3$,求$\triangle BDE$的面积.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ABC=60°,
∴∠ADC=120°,
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠ACB=∠ADB=60°,∠BAC=∠CDB=60°,
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC,
∴△ABC是等边三角形.　
(2)解:
∵BE//CD,
∴∠EBD=∠BDC,
∵∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠EBD=∠EDB=60°,
∴△BDE是等边三角形.　又
∵△ABC为等边三角形,
∴∠EBD=∠ABC=60°,
∴∠ABE=∠CBD,在△ABE和△CBD中，{BE = BD，∠ABE = ∠CBD，AB = CB}
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD=3,
∴DE=AE+AD=5,
∴△BDE的面积=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×5=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$.