《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

8. (2023·海安县一模)如图①,一艺术拱门由两部分组成,下部为矩形$ABCD$,$AB$,$AD的长分别是2\sqrt{3}m和4m$,上部是圆心为$O的劣弧\overset{\frown}{CD}$,圆心角$∠COD = 120^{\circ}$。现欲以点$B$为支点将拱门放倒,放倒过程中矩形$ABCD$所在的平面始终与地面垂直,如图②③④,记拱门上的点到地面的最大距离为$h m$,则$h$的最大值为______$2+2\sqrt{3}$.

答案： $2+2\sqrt{3}$

9. (16分)如图,$AB是\odot O$的弦,$C$,$D为直线AB$上的两点,$OC = OD$,求证：$AC = BD$.

答案：
证明:作OH⊥AB于点H,如答图，则AH=BH,
　　　　　　　　
∵OC=OD,OH⊥AB,
∴CH=DH,
∴CH−AH=DH−BH,即AC=BD.

10. (20分)(2024·泰兴期中)某应急物资储藏室的门洞截面是由如图所示的图形构成的,图形下面是长方形$ABCD$,上面是半圆,其中$AB = 1.8m$,$BC = 2m$,一辆装满货物的运输车,其外形高$2.3m$,宽$1.6m$,它能通过储藏室的门吗？请通过计算说明理由.

答案：
解:这辆货车能通过储藏室的门.理由如下:如答图，取AD的中点O，点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿,过点P作EF⊥AD,交半圆于点E,交BC于点F.
　　　　　　　　　
　由题意知，运输车从中间过更容易通过，
　则OP=1.6÷2=0.8(m),OE=2÷2=1(m),PF=AB =1.8m,∠EPO=90°.
　在Rt△EPO中,$EP=\sqrt{OE^{2}-OP^{2}}=0.6$(m),
∴EF=0.6+1.8=2.4(m).
∵2.4＞2.3,
∴这辆货车能通过储藏室的门.

11. (24分)如图,在半径为2的扇形$OAB$中,$∠AOB = 90^{\circ}$,点$C是\overset{\frown}{AB}$上的一个动点(不与点$A$,$B$重合),$OD⊥BC$,$OE⊥AC$,垂足分别为$D$,$E$.
(1)当$BC = 2$时,求线段$OD的长和∠BOD$的度数.
(2)在$\triangle DOE$中,是否存在长度保持不变的边？如果存在,请指出并求其长度；如果不存在,请说明理由.
(3)在$\triangle DOE$中,是否存在度数保持不变的角？如果存在,请指出并求其度数；如果不存在,请说明理由.

答案：

(1)
∵OD⊥BC,
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=1$,
∴$BD=\frac{1}{2}OB$,
∴∠BOD=30°.
　由勾股定理得$OD^{2}=2^{2}-1^{2}=3$,
∴$OD=\sqrt{3}$.
(2)存在，$DE=\sqrt{2}$.如答图，连接AB.
∵∠AOB=90°,OA=OB=2,
∴$AB^{2}=OB^{2}+OA^{2}=8$,
∴$AB=2\sqrt{2}$.
∵OD⊥BC,OE⊥AC,
∴BD=CD,AE=EC,
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}× 2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
(3)存在,∠DOE=45°.如答图，连接OC.
∵OD⊥BC,OE⊥AC,且OA=OB=OC,
∴∠BOD=∠COD,∠AOE=∠COE,
∴$∠DOE=\frac{1}{2}∠AOB=45°$.