《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

11. 新定义(2024·昆山期中)对于实数$a,b$,新定义一种运算“※”,$a※b= \begin{cases}a^{2}-2b(a ＜ b),\\b^{2}-2a(a\geqslant b).\end{cases} 若x※2 = 5$,则$x$的值为-3.

答案： -3

12. 解下列方程:
(1)$(2x - 1)^{2}-49 = 0$; (2)$2(x - 3)^{2}= 72$;
(3)$x^{2}= (2x - 1)^{2}$; (4)$y - 2y^{2}= (y - 3)(y + 4)$;
(5)$(x + 1)(x - 1)= 1$; (6)$x^{2}-6x + 9= (5 - 2x)^{2}$.

答案： $(1)$ 解方程$(2x - 1)^{2}-49 = 0$
解：
移项可得$(2x - 1)^{2}=49$，
根据平方根的定义$a^2=b(b\geq0)$，则$a = \pm\sqrt{b}$，所以$2x - 1=\pm\sqrt{49}=\pm7$。
当$2x - 1 = 7$时，$2x=7 + 1$，$2x=8$，解得$x = 4$；
当$2x - 1=-7$时，$2x=-7 + 1$，$2x=-6$，解得$x=-3$。
$(2)$ 解方程$2(x - 3)^{2}=72$
解：
方程两边同时除以$2$得$(x - 3)^{2}=36$，
根据平方根的定义$x - 3=\pm\sqrt{36}=\pm6$。
当$x - 3 = 6$时，解得$x = 6 + 3=9$；
当$x - 3=-6$时，解得$x=-6 + 3=-3$。
$(3)$ 解方程$x^{2}=(2x - 1)^{2}$
解：
移项得$x^{2}-(2x - 1)^{2}=0$，
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = x$，$b = 2x - 1$，则$(x+(2x - 1))(x-(2x - 1))=0$，
即$(3x - 1)(-x + 1)=0$。
所以$3x - 1 = 0$或$-x + 1 = 0$。
当$3x - 1 = 0$时，$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$；
当$-x + 1 = 0$时，解得$x = 1$。
$(4)$ 解方程$y - 2y^{2}=(y - 3)(y + 4)$
解：
先将右边展开$(y - 3)(y + 4)=y^{2}+4y-3y-12=y^{2}+y-12$，
原方程化为$y - 2y^{2}=y^{2}+y-12$，
移项得$y - 2y^{2}-y^{2}-y + 12 = 0$，
合并同类项得$-3y^{2}+12 = 0$，
方程两边同时除以$-3$得$y^{2}-4 = 0$，
根据平方差公式$(y + 2)(y - 2)=0$，
所以$y + 2 = 0$或$y - 2 = 0$，
解得$y=-2$或$y = 2$。
$(5)$ 解方程$(x + 1)(x - 1)=1$
解：
根据平方差公式$(x + 1)(x - 1)=x^{2}-1$，
原方程化为$x^{2}-1 = 1$，
移项得$x^{2}=1 + 1=2$，
根据平方根的定义$x=\pm\sqrt{2}$。
$(6)$ 解方程$x^{2}-6x + 9=(5 - 2x)^{2}$
解：
左边$x^{2}-6x + 9=(x - 3)^{2}$，
原方程化为$(x - 3)^{2}=(5 - 2x)^{2}$，
移项得$(x - 3)^{2}-(5 - 2x)^{2}=0$，
根据平方差公式$(x - 3+(5 - 2x))(x - 3-(5 - 2x))=0$，
即$(-x + 2)(3x - 8)=0$。
所以$-x + 2 = 0$或$3x - 8 = 0$。
当$-x + 2 = 0$时，解得$x = 2$；
当$3x - 8 = 0$时，$3x=8$，解得$x=\frac{8}{3}$。
综上，答案依次为：$(1)x = 4$或$x=-3$；$(2)x = 9$或$x=-3$；$(3)x=\frac{1}{3}$或$x = 1$；$(4)y=-2$或$y = 2$；$(5)x=\pm\sqrt{2}$；$(6)x = 2$或$x=\frac{8}{3}$。

13. 新情境阅读理解:我们把$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} $称作二阶行列式,规定它的运算法则为$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$.如$\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix} = 2×5 - 3×4= -2$.如果$\begin{vmatrix}x + 1&x - 1\\1 - x&x + 1\end{vmatrix} = 6$,求$x$的值.

答案： 解:根据题意可得$\begin{vmatrix} x+1&x-1\\ 1-x&x+1\end{vmatrix} =(x+1)^{2}-(1-x)\cdot(x-1)=6$,整理得$2x^{2}=4,$
解得$x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2}.$

14. 若关于$x的一元二次方程ax^{2}= b(ab＞0)的两个根为x_{1}= m + 1,x_{2}= 2m - 4$.
(1)求$m$的值;
(2)

求

$\frac{b}{a}$的值.

答案： 解:
(1)由$ax^{2}=b(ab＞0)$,得$x^{2}=\frac{b}{a},$
解得$x=\pm \sqrt{\frac{b}{a}},$
即方程的两个根互为相反数.
$\therefore x_{1}+x_{2}=m+1+2m-4=0$,解得$m=1.$
(2)由
(1)知$m=1,$
∴方程的两个根为$x_{1}=m+1=2,x_{2}=2m-4=-2,$
$\because x^{2}=\frac{b}{a},\therefore \frac{b}{a}=(\pm 2)^{2}=4.$

15. (2024·苏州园区期中)解关于$x$的方程:$bx^{2}-1 = 1 - x^{2}(b\neq-1)$.

答案： 解:方程整理得$(b+1)x^{2}=2,$
即$x^{2}=\frac{2}{b+1}(b≠-1$,即$b+1≠0),$
若$b+1＞0$,即$b＞-1$,开方得$x=\pm \sqrt{\frac{2}{b+1}}=\pm \frac{\sqrt{2(b+1)}}{b+1}.$
若$b+1＜0$,即$b＜-1$,方程无实数根.