《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

7. 如图,已知 AB 是$\odot O$的直径,M,N 分别是 AO,BO 的中点,$CM\perp AB$,$DN\perp AB$.
求证:$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$.

答案：
证明:连接OC,OD,如答图.
　　　　　　　　
∵AB是⊙O的直径，M,N分别是AO,BO的中点，
∴OM=ON.
∵CM⊥AB,DN⊥AB,
∴∠OMC=∠OND=90°.
　在Rt△OMC和Rt△OND中,{OM=ON,OC=OD,
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL),
∴∠COM=∠DON,
∴$\stackrel{\frown}{AC}$=$\stackrel{\frown}{BD}$.

8. (2023·宿城区期中)如图,$\odot O$的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E,F,$∠E = ∠F$.
(1)求证:$DF\perp AE$;
(2)若 C 是$\overset{\frown}{BD}$的中点,设$∠E = \alpha$,$∠DBA = \beta$,用含$\alpha的代数式表示\beta$.

答案：

(1)证明:
∵∠E=∠F,∠ADC=180°−∠DAF−∠F,∠ABC=180°−∠BAE−∠E,
∴∠ADC=∠ABC,
∵∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠ADC=∠ABC=90°,
∴DF⊥AE;
(2)解:如答图，连接OB,OD,AC;
　由
(1)知∠ABC=90°,
∵∠E=α,
∴∠EAB=90°−α.
∵C是$\stackrel{\frown}{BD}$的中点，
∴AC垂直平分BD,
∴AD=AB,
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°−$\frac{1}{2}$α,
∴∠ABD=90°−∠BAC=45°+$\frac{1}{2}$α=β,
　即β=45°+$\frac{1}{2}$α.
　　　　　　　

9. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$∠ABC ＞ 90^{\circ}$,$∠BAC处的外角∠EAC的平分线交\odot O$于点 D,连接 DB,DC,DB 交 AC 于点 F.
(1)若$∠EAD = 75^{\circ}$,求$\overset{\frown}{BC}$的度数;
(2)求证:$DB = DC$;
(3)若$DA = DF$,$∠ABC = \alpha$,求$∠DFC$的度数.(用含$\alpha$的代数式表示)

答案：
(1)解:
∵∠EAD=75°,AD平分∠EAC,
∴∠EAC=2∠DAE=150°,
∴∠BAC=180°−∠EAC=30°,
∴$\stackrel{\frown}{BC}$的度数为30°×2=60°.
(2)证明:
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BCD+∠BAD=180°,
∵∠DAB+∠EAD=180°,
∴∠EAD=∠BCD,
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠DAC,
∴∠CAD=∠BCD,
∴DB=DC.
(3)解:
∵DA=DF,
∴∠DAF=∠DFA.
由
(2)知DB=DC,
∴∠DBC=∠DCB,
∴∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD,
∴∠ADF=∠BDC.
∵∠ABC=α,圆内接四边形对角互补,
∴∠ADC=180°−α,
∴∠ADF=90°−$\frac{α}{2}$,
∴∠DAF=∠DFA=(180°−∠ADF)÷2=45°+$\frac{α}{4}$,
∴∠DFC=180°−∠DFA=135°−$\frac{α}{4}$.