《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

6. (2023·铜山区期末)如图,在矩形ABCD中,$AB= 6cm,BC= 12cm$,点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动;同时,点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.问:
(1)几秒时,$\triangle PDQ的面积等于28cm^{2}$?
(2)几秒时,$PQ⊥DQ$?

答案： 解:
(1)设x s时，△DPQ的面积等于28 cm²。
∵S矩形ABCD - S△APD - S△BPQ - S△CDQ = S△DPQ，
∴12×6 - $\frac{1}{2}$×12x - $\frac{1}{2}$×2x(6 - x) - $\frac{1}{2}$×6×(12 - 2x) = 28，化简整理得x² - 6x + 8 = 0，
解得x₁ = 2，x₂ = 4。
答:2 s或4 s时，△PDQ的面积等于28 cm²。
(2)设t s时，PQ⊥DQ，
∵PQ⊥DQ，
∴PD² = DQ² + PQ²，
∴144 + t² = 36 + (12 - 2t)² + (6 - t)² + 4t²，
整理，得2t² - 15t + 18 = 0，解得t = $\frac{3}{2}$或t = 6。
答:$\frac{3}{2}$ s或6 s时，PQ⊥DQ。

7. 如图,$AB⊥OC于点O,AO= BO= 50cm$,蚂蚁甲以2 cm/s的速度从点A爬到点B,同时,蚂蚁乙以3 cm/s的速度从点O沿射线OC爬行.是否存在这样的时刻,使两只蚂蚁所在位置与点O组成的三角形的面积为$450cm^{2}$?若存在,请说明在什么时刻;若不存在,请说明理由.

答案： 解:存在.设在x s时，两只蚂蚁所在位置与点O组成的三角形的面积为450 cm²，有两种情况:
①当蚂蚁甲在线段AO上运动时，易得0 ＜ x ≤ 25，
由题意，得$\frac{1}{2}$×3x×(50 - 2x) = 450，
整理，得x² - 25x + 150 = 0，解得x₁ = 15，x₂ = 10。
②当蚂蚁甲在线段OB上运动时，易得25 ＜ x ≤ 50，
由题意，得$\frac{1}{2}$×3x(2x - 50) = 450，
整理，得x² - 25x - 150 = 0，
解得x₃ = 30，x₄ = -5(舍去)。
∴在10 s，15 s，30 s时，两只蚂蚁所在位置与点O组成的三角形的面积均为450 cm²。

8. 如图,在四边形ABCD中,$AB// CD,∠C= 90^{\circ },AB= 6cm,CD= 10cm,AD= 5cm$,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,点P以2 cm/s的速度向点B运动,点Q以1 cm/s的速度向点D运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)经过几秒,P,Q两点之间的距离是5 cm?
(2)是否存在某一时刻,使得PD恰好平分$∠APQ$?若存在,求出此时的运动时间;若不存在,请说明理由.

答案：
解:
(1)过点A作AE⊥CD于点E，过点P作PF⊥CD于点F，如答图①。

∵AB = 6 cm，CD = 10 cm，
∴DE = CD - AB = 10 - 6 = 4(cm)。
在Rt△ADE中，AD = 5 cm，DE = 4 cm，∠AED = 90°，
∴AE = $\sqrt{AD² - DE²}$ = $\sqrt{5² - 4²}$ = 3(cm)。
∴PF = AE = 3 cm。
当运动时间为t s时，AP = 2t cm，CQ = t cm，
PB = AB - AP = (6 - 2t)cm，
∴FQ = |PB - CQ| = |6 - 3t|(cm)。
在Rt△PFQ中，PF = 3 cm，PQ = 5 cm，FQ = |6 - 3t|cm，∠PFQ = 90°，
∴PQ² = PF² + FQ²，
即5² = 3² + (6 - 3t)²，
整理得9t² - 36t + 20 = 0，解得t₁ = $\frac{2}{3}$，t₂ = $\frac{10}{3}$。
答:经过$\frac{2}{3}$ s或$\frac{10}{3}$ s，P，Q两点之间的距离是5 cm。
(2)不存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ。理由如下:连接PD，如答图②。
假设PD平分∠APQ，则∠APD = ∠DPQ。
∵AB//CD，
∴∠APD = ∠QDP，
∴∠DPQ = ∠QDP，
∴PQ = DQ。
当运动时间为t s时，AP = 2t cm，CQ = t cm，
DQ = (10 - t)cm，PQ = $\sqrt{3² + (6 - 3t)²}$cm，
∵PQ = DQ，
∴$\sqrt{3² + (6 - 3t)²}$ = 10 - t，
整理得8t² - 16t - 55 = 0，
解得t₁ = 1 - $\frac{3\sqrt{14}}{4}$(不符合题意，舍去)，t₂ = 1 + $\frac{3\sqrt{14}}{4}$。
又
∵AP ≤ AB，即2t ≤ 6，
∴t ≤ 3，
∴t₂ = 1 + $\frac{3\sqrt{14}}{4}$不符合题意，舍去。
∴不存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ。