《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

9. (2024·湖滨一模)若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为$120^{\circ}$、弧长为$6\pi$的扇形,则该圆锥的母线长为9.

答案： 9

10. 在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片,使它们恰好围成一个圆锥(如图所示),如果扇形的圆心角为$90^{\circ}$,扇形的半径为4,那么所围成的圆锥的高为$\sqrt{15}$.

答案： $\sqrt{15}$

11. 如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6.
(1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中$\angle ABC$的度数；
(2)如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根绳子的最短长度.

答案：
解:
(1)圆锥的高为$\sqrt{6^2-2^2}$=4$\sqrt{2}$,
设∠ABC=n°,即2π×2=$\frac{nπ×6}{180}$,
解得n=120,故∠ABC=120°.
(2)如答图，连接AC,AC的长即为这根绳子的最短长度.过点B作BD⊥AC于点D,则∠ABD=60°.
由AB=6,可得BD=3,
所以AD=3$\sqrt{3}$,AC=2AD=6$\sqrt{3}$,
即这根绳子的最短长度是6$\sqrt{3}$.

12. 某种冰激凌(如图①)的外包装可以视为圆锥(如图②),它的底面圆的直径ED与母线AD长之比为$1:2$. 制作这种外包装需要用如图③所示的等腰三角形材料,其中$AB = AC$,$AD \perp BC$. 将扇形AEF围成圆锥时,AE,AF恰好重合. (接头部分忽略不计)
(1)求这种加工材料的顶角$\angle BAC$的度数；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部分(图③中阴影部分)的面积. (结果保留$\pi$)

答案： 解:
(1)设∠BAC=n°.由题意得π·DE=$\frac{nπ·AD}{180}$,
AD=2DE,
∴n=90,即∠BAC=90°.
(2)
∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=90°,
∴BD=CD,∠BAD=45°,
∴BD=CD=AD.
∵AD=2DE=10cm,
∴BC=20cm,
∴S影=$\frac{1}{2}$·BC·AD - S扇形AEF=$\frac{1}{2}$×20×10 - $\frac{90π·10^2}{360}$=100 - 25π(cm²).