《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

7. 如图,在平面直角坐标系中,⊙M与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交⊙M于P,Q两点,点P在点Q的右边,若点P的坐标为(-1,3),则点Q的坐标是 (A)
A.(-9,3)
B.(-10,3)
C.(-9,1)
D.(-9,4)

答案： A

8. 如图,⊙O的半径为5,圆心O到直线l的距离为6,点P为直线l上一动点,过点P作⊙O的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为$\sqrt{11}$.

答案： $\sqrt{11}$

9. 如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB边的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为3或$4\sqrt{3}$.

答案： 3或$4\sqrt{3}$

10. 如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,D是$\overset{\frown}{AB}$的中点,CD与AB交于点E.F是AB延长线上一点,且CF= EF.
(1)求证:CF为⊙O的切线;
(2)连接BD,若CF= 4,BF= 2,求BD的长.

答案：

(1)证明:如答图，连接OC，OD.
　　　　　　　
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC.
∵CF=EF，
∴∠FCE=∠FEC.
∵∠OED=∠FEC，
∴∠OED=∠FCE.
∵AB是直径，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴∠DOE=90°.
∴∠OED+∠ODC=90°.
∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°.
∵OC是半径，
∴CF是⊙O的切线.
(2)解:设OA=OD=OC=OB=r，则OF=r+2.
　在Rt△COF中，$OC^{2}+CF^{2}=OF^{2}$.
∴$r^{2}+4^{2}=(r+2)^{2}$，解得r=3，
∴OB=OD=3.
∵∠DOB=90°，
∴$BD^{2}=OD^{2}+OB^{2}$.
　
∴$BD=\sqrt{OD^{2}+OB^{2}}=3\sqrt{2}$.

11. (2023·姑苏区一模)如图,在△ABC中,点D为BC边上的一个动点,以CD为直径的⊙O交AD于点E,过点C作CF//AB,交⊙O于点F.连接CE,EF,已知AC是⊙O的切线.
(1)求证:∠BAC= ∠CEF;
(2)若AB= 10,AC= 6,CE= EF,求直径CD的长.

答案：
(1)证明:
∵CF//AB，
∴∠B=∠FCB.
　
∵∠FCB=∠DEF，
∴∠B=∠DEF.
　
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ACB=90°.
　
∴∠BAC+∠B=90°.
　
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°.
　
∴∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠BAC=∠CEF.
(2)解:连接FD并延长，与AB相交于点G.
　
∵CE=EF，
∴∠EFC=∠ECF.
　
∵四边形CEDF为圆内接四边形.
　
∴∠ADG=∠ECF.
　又
∵∠CDE=∠CFE，
∴∠ADG=∠CDE.
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC=90°.
∵FC//AB，
∴∠FGA=90°，
∴∠FGA=∠ACD.
∵AD=AD，
∴△AGD≌△ACD(AAS).
∴DG=CD，AC=AG=6.
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6.
∴$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=8$.
设CD=x.
则BD=BC - CD=8 - x，BG=AB - AG=10 - 6=4.
DG=CD=x.
∵在Rt△BDG中，$BG^{2}+DG^{2}=BD^{2}$.
∴$4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$，解得x=3，即CD=3.