《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

9.(12分)如图,$AB$,$BC$,$CD分别与\odot O相切于点E$,$F$,$G$,且$AB// CD$,$BO= 6cm$,$CO= 8cm$。
(1)求$BC$的长；
(2)求$\odot O$的半径长。

答案：
解:
(1)
∵AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,
∴∠OBC = 1/2∠ABC,∠OCB = 1/2∠DCB,
∵AB//CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴∠OBC + ∠OCB = 90°,
∴∠BOC = 90°,
∵OB = 6cm,OC = 8cm,
∴BC = √(6² + 8²)=10(cm).
(2)如答图，连接OF,
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC,
∴S△BOC = 1/2OB·OC = 1/2BC·OF,
∴6×8 = 10OF,解得OF = 24/5,即⊙O的半径为24/5 cm.

10.(12分)如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$AB是\odot O$的直径,点$E在\odot O$上,点$C是\overset{\frown}{BE}$的中点,$AE\perp CD$,垂足为点$D$,$DC的延长线交AB的延长线于点F$。
(1)求证：$CD是\odot O$的切线；
(2)若$CD= \sqrt{3}$,$\angle ABC= 60^{\circ}$,求线段$AF$的长。

答案：

(1)证明:如答图，连接OC.
∵点C是⌢BE的中点,
∴⌢BC = ⌢CE,
∴∠BAC = ∠CAE.
∵OC = OA,
∴∠OCA = ∠OAC,
∴∠OCA = ∠CAD,
∴OC//AD.
∵AE⊥CD,
∴OC⊥DF;
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线,

(2)解:
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°,
∵∠ABC = 60°,
∴∠BAC = 30°,
∴∠CAD = ∠BAC = 30°.
∵AD⊥CD,
∴∠D = 90°,
∵CD = √3,
∴AC = 2√3,AD = √(AC² - CD²)=3.
∵∠F = 180° - ∠D - ∠BAD = 30°,
∴AF = 2AD = 6.

11.(14分)(2024·十堰模拟)如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$D是\overset{\frown}{BC}$上一点,经过点$D的\odot O的切线EF// BC$,分别交$AB$,$AC的延长线于点E$,$F$。
(1)求证：$AD平分\angle BAC$；
(2)若$\odot O$的半径为12,$\angle BAC= 60^{\circ}$,$BE= 6\sqrt{2}$,求线段$DE$的长。

答案：

(1)证明:如答图，连接OD.
∵EF是⊙O的切线,
∴OD⊥EF.
∵EF//BC,
∴OD⊥BC,
∴⌢BD = ⌢CD,
∴∠BAD = ∠CAD,
∴AD平分∠BAC;
(2)解:如答图，连接OB,BD,过点B作BH⊥DE于点H.
∵∠BAC = 60°,AD平分∠BAC,
∴∠BOD = 2∠BAD = 60°.
∵OB = OD,
∴△OBD为等边三角形，
∴∠ODB = 60°,BD = OD = 12.
∴∠BDH = 30°,
在Rt△BDH中,BH = 1/2BD = 6,DH = 6√3,
∴EH = √(BE² - BH²)=6,
∴DE = EH + HD = 6 + 6√3

12.(14分)如图,直线$MN与\odot O$相离,过圆心$O作OA\perp MN于点A$,$OA交\odot O于点B$,点$C在\odot O$上,连接并延长$CB交直线MN于点D$,连接$AC$,$AC= AD$。判断$AC与\odot O$的位置关系,并说明理由。

答案：
解:AC与⊙O相切,理由如下:
连接OC,如答图,
∵AC = AD,
∴∠ACD = ∠ADC,
∵OC = OB,
∴∠OCB = ∠OBC,
又
∵OA⊥MN,
∴∠OAD = 90°,
∴∠ADC + ∠ABD = 90°,
∵∠ABD = ∠OBC,
∴∠OCB + ∠ACD = 90°,
即OC⊥AC;
∵OC是⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线