《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

2.【概念认识】
对于平面直角坐标系$xOy中的图形T和图形W$,给出如下定义：$M为图形T$上任意一点,$N为图形W$上任意一点,将$M$,$N两点间距离的最小值称为图形T到图形W$的“最近距离”,记作$d(T - W)$.如图①,$\triangle ABC到正方形DEFG$的“最近距离”就是点$A$,$D$之间的距离,即$d(\triangle ABC-正方形DEFG)= 3$.
【概念理解】
如图②,在平面直角坐标系中,以$O(0,0)$为圆心,3为半径作圆.
(1)若点$H的坐标为(6,8)$,则$d(H-\odot O)= $______；
(2)若点$Q是x$轴上一点,$d(Q-\odot O)= 1$,则$OQ= $______；
(3)将一次函数$y = kx + 10(k＞0)的图像记为图形T$,若$d(T-\odot O)= 2$,求$k$的值；
【灵活运用】
(4)如图③,在平面直角坐标系中,已知点$I(-3,6)$,$J(-3,-2)$,$K(5,-2)$.点$P是x$轴上的一点,设点$P的坐标为(t,0)$,以点$P$为圆心,1为半径作圆.若$d(\odot P-\triangle IJK)= 1$,请直接写出$t$的取值范围.

答案：
$(1)7　(2)2$或$4$　　　　
$(3)$解$:$
∵当$x=0$时$,y=10, $　　
∴一次函数$y=kx+10(k＞0)$的图像与$y$轴的交点为$(0,10). $　　
记一次函数的图像为直线$BC,$且$B(0,10),$作$OC⊥BC $于点$C,$作$CD⊥y$轴于点$D,$如答图$①, $　　
∵$d(T−⊙O)=2,⊙O$的半径为$3, $　　
∴$OC=5,$由勾股定理得$,BC=\sqrt {(OB²−OC²)}=5\sqrt 3, $　　
∵$S△BOC=\frac 12OB·CD=\frac 12OC·BC, $　　
∴$\frac 12×10×CD=\frac 12×5×5\sqrt 3,$解得$CD=\frac {5\sqrt 3}2, $　　
由勾股定理得$OD=\sqrt {(OC²−CD²)}=\frac 52, $　　
∴$C(−5√\frac{3}{2},\frac{5}{2}),$将$C(−5√\frac{3}{2},\frac{5}{2})$代入$y=kx+10(k＞0)$得$−5√\frac{3}{2}k+10=\frac{5}{2},$解得$k=√3. $　　
∴$k$的值为$\sqrt 3. $　　
$(4)$解$:t$的取值范围为$t=−5$或$−1≤t≤3−2√2$或$t=3+2√2　$解析$:$当点$P$在$IJ$的左侧时$,$如答图$②,$由图可知$,$当$t=−5$时$,d(⊙P−△IJK)=1,$
∴$t=−5. $　　
当点$P$在$△IJK$内部时$,$如答图$③,$作$PQ⊥IK$于点$Q,$使$PQ=2,$记$IK$与$x$轴的交点为$G,$则$OG=3, $　　
∵$I(−3,6),J(−3,−2),K(5,−2), $　　
∴$∠J=90°,IJ=JK=8,$
∴$∠I=∠K=45°, $　　
∵$JK//x$轴$,$
∴$∠PGQ=∠K=45°, $　　
∴$△PQG$为等腰直角三角形，$ $　　
∴$QG=QP=2, $　　
由勾股定理得$,PG=√(QG²+QP²)=2√2, $　　
∴$OP=OG−PG=3−2√2,$
∴$P(3−2√2,0). $　　
由图可知$,$当$t=−1($点$P$在点$P'$处$)$时$,d(⊙P−△IJK)=1,$且点$P$在$−1$和$3−2√2$之间移动时$,⊙P$到$JK$的最小距离均为$1. $　　
∴$t$的取值范围为$−1≤t≤3−2√2. $　　
当点$P$在$IK$右侧时$,$如答图$④,$记$IK$与$x$轴的交点为$G,$则$OG=3,$作$PH⊥IK$于点$H,$使$PH=2, $　　
同理$,$当$PH=2$时$,$可得$PG=2√2, $　　
∴$OP=OG+PG=3+2√2, $　　
∴$P(3+2√2,0).$当$t=3+2√2$时$,d(⊙P−△IJK)=1. $　　
综上所述$,t$的取值范围为$t=−5$或$−1≤t≤3−2√2$或$t=3+2√2. $