《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

7. (2024·盐城一模)如图①,将一张长 20 cm,宽 10 cm 的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后,恰好折成如图②所示的有盖纸盒,纸盒底面积为$48cm^{2}$,求该有盖纸盒的高.

答案： 解:设纸盒的高为$x$cm,依题意,得$\frac{20-2x}{2}×(10-2x)=48$,化简,得$x^{2}-15x+26=0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=13$.当$x=2$时,$10-2x=6＞0$,符合题意.当$x=13$时,$10-2x=-16＜0$,不符合题意,舍去.答:纸盒的高为2cm.

8. (2024·玄武区期末)如图,校园空地上有一面长为 4 米的墙.为了创建美丽校园,学校决定用这面墙和 20 米的围栏围成一个矩形花园 ABCD.
(1)如图①,利用墙围成矩形花园 ABCD,若围成的花园面积为 32 平方米,求花园的边长.
(2)如图②,用围栏补墙得到矩形花园 ABCD,花园的面积能为 36 平方米吗? 若能,请求出 BC 的长;若不能,请说明理由.

答案： 解:
(1)设$AB=x$米,则$BC=(20-2x)$米.根据题意得$x(20-2x)=32$,整理得$x^{2}-10x+16=0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=8$,当$x=2$时,$20-2x=20-2×2=16＞4$,不符合题意,舍去.当$x=8$时,$20-2x=20-2×8=4$,符合题意.答:花园的边长为8米和4米.
(2)花园的面积能为36平方米.设$AB=y$米,则$BC=\frac{20+4-2y}{2}=12-y$(米),根据题意得$y(12-y)=36$,整理得$y^{2}-12y+36=0$,解得$y_{1}=y_{2}=6$,$\therefore12-y=12-6=6$.答:花园的面积能为36平方米,$BC$的长为6米.

9. (2024·湖滨期末)小张准备进行如下实验操作:如图,把一根长 20 cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$13cm^{2}$,则这两个正方形的边长各是多少?
(2)小张认为,这两个正方形的面积之和不可能等于$11cm^{2}$.你认为他的说法正确吗? 请说明理由.

答案： 解:设其中一个正方形的边长为$x$cm,则另一个正方形的边长为$(5-x)$cm.
(1)依题意列方程得$x^{2}+(5-x)^{2}=13$,整理得$x^{2}-5x+6=0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=3$,因此这两个正方形的边长分别是2cm,3cm.
(2)小张的说法正确.理由:设这两个正方形的面积之和为$y$cm$^{2}$,$y=x^{2}+(5-x)^{2}=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{25}{2}$,$\because2\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}\geqslant0$,$\therefore$当$x=\frac{5}{2}$时,$y$取得最小值,最小值$=12.5＞11$,$\therefore$这两个正方形的面积之和不可能等于11cm$^{2}$.

10. 某公园准备在一块长为 42 m,宽为 30 m 的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房(如图),在温室花房四周修四条宽度相同,且与温室花房各边垂直的小路,温室花房边长是小路宽度的 6 倍,花园内其他空白地方铺草坪,设小路宽度为x m.
(1)用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路的面积;
(2)当草坪的面积为$1164m^{2}$时,求小路的宽度.

答案： 解:
(1)$\because$温室花房边长是小路宽度的6倍,小路宽度为$x$m,$\therefore$温室花房边长为$6x$m,$\therefore$温室花房的面积为$6x\cdot6x=36x^{2}$(m$^{2}$),小路的面积为$(42-6x+30-6x)\cdot x=(72x-12x^{2})$m$^{2}$.答:温室花房的面积为$36x^{2}$m$^{2}$,小路的面积为$(72x-12x^{2})$m$^{2}$.
(2)依题意得$42×30-36x^{2}-(72x-12x^{2})=1164$,整理得$x^{2}+3x-4=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=-4$(不符合题意,舍去).答:当草坪的面积为1164m$^{2}$时,小路的宽度为1m.