《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册人教版》

22. （2023辽宁铁岭西丰期中）（9分）如图，CD//AB，∠DCB = 70°，∠CBF = 20°，∠EFB = 130°.（M7207005）
（1）直线EF与AB有怎样的位置关系？
（2）若∠CEF = 60°，则∠ACB的度数是多少？
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解析
(1)
∵CD//AB，∠DCB = 70°，
∴∠ABC = ∠DCB = 70°.
∵∠CBF = 20°，
∴∠ABF = ∠ABC - ∠CBF = 50°.
∵∠EFB = 130°，
∴∠ABF+∠EFB = 50°+130° = 180°，
∴EF//AB.
(2)
∵EF//AB，CD//AB，
∴EF//CD.
∴∠CEF+∠ECD = 180°.
∵∠CEF = 60°，
∴∠ECD = 120°.
∵∠DCB = 70°，
∴∠ACB = ∠ECD - ∠DCB = 50°.

23. 新考向·项目式学习试题（12分）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等. 如图①，AB是平面镜，若入射光线与平面镜的夹角为∠1，反射光线与平面镜的夹角为∠2，则∠1 = ∠2.
（1）【初步应用】如图②，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1 = 50°，则∠2 = ______，∠3 = ______.
（2）【猜想验证】通过（1），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3 = _______时，可以使光线m经过平面镜a、b的两次反射后的反射光线n与入射光线m平行. 请说明理由.
（3）【拓展探究】如图③，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1 = α，镜面AB、BC的夹角∠B = 120°，已知入射光线从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，1 ＜ n ≤ 3）次反射，当第n次反射的反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数.（可用含有α的代数式表示）
　　　

答案：
解析
(1)如图，根据题意可知∠1 = ∠4 = 50°，∠5 = ∠6，
∴∠7 = 180° - ∠1 - ∠4 = 80°，
∵m//n，
∴∠2 = 180° - ∠7 = 100°，
∴∠5 = ∠6 = (180° - 100°)÷2 = 40°.
∴∠3 = 180° - ∠4 - ∠5 = 90°.
故答案为100°；90°.

(2)猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3 = 90°时，可以使光线m经过平面镜a、b的两次反射后的反射光线n与入射光线m平行.
理由：如图，
∵∠3 = 90°，
∴∠4+∠5 = 90°.
由题意知∠1 = ∠4，∠5 = ∠6，
∴∠2+∠7 = 180° - (∠5+∠6)+180° - (∠1+∠4)=360° - 2∠4 - 2∠5 = 360° - 2(∠4 + ∠5)= 180°.
∴m//n.
(3)∠BCD的度数为90°+α或150°.
详解：①当n = 3时，如图，

∵∠BEG = ∠1 = α，
∴∠BGE = ∠CGH = 180° - ∠B - ∠BEG = 180° - 120° - α = 60° - α，∠FEG = 180° - 2∠1 = 180° - 2α，
∴∠EGH = 180° - 2∠BGE = 180° - 2(60° - α)= 60° + 2α，
由EF//HK易知∠FEG+∠EGH+∠GHK = 360°，
∴∠GHK = 360° - (180° - 2α)-(60° + 2α)= 120°，
∴∠GHC = ∠DHK=$\frac{1}{2}$(180° - ∠GHK)=$\frac{1}{2}$×(180° - 120°)= 30°，
在△GCH中，∠BCD = 180° - ∠GHC - ∠CGH = 180° - 30°-(60° - α)= 90° + α；
②当n = 2时，
∵∠ABC = 120°≠90°，
∴若光线EF经两次反射后与EF平行，则第2次反射只能在平面镜CD上反射，
如图，延长AB，DC交于点G，

∴∠GBC = 180° - ∠ABC = 60°，
由EF//HK及
(2)中的结论可得∠G = 90°，
∴∠BCG = 180° - ∠G - ∠GBC = 180° - 90° - 60° = 30°，
∴∠BCD = 180° - ∠BCG = 180° - 30° = 150°.
综上所述，∠BCD的度数为90°+α或150°.