《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册人教版》

14.三角尺拼接模型(2023江西宜春樟树期中，16，★★☆)将一副三角尺拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.求证：CF//AB.

答案： 证明
∵CF 平分∠DCE，∠DCE = 90°，
∴$∠FCE = \frac{1}{2}∠DCE = 45°.$
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC = 45°.
∴∠ABC = ∠FCE，
∴CF//AB.
模型解读
用一副三角尺可拼出不同的图形，通常利用三角尺中的90°，60°，45°，30°角和边的垂直等隐含条件完成计算或证明.

15.(2023江苏南京建邺期中，13，★★☆)如图，∠1 + ∠2 = ∠AEC.求证：AB//CD.

答案：
证明 如图，作射线EF，使∠AEF = ∠1.
　　　　　　
∵∠1 + ∠2 = ∠AEC，∠AEF + ∠CEF = ∠AEC，∠AEF = ∠1，
∴∠2 = ∠CEF.
∴EF//CD.
∵∠AEF = ∠1，
∴EF//AB.
∴AB//CD.

16.推理能力 新考法·纸带折叠与平行线判定
一次数学活动中，要检验两条纸带①②的边线是否平行，嘉嘉和淇淇采用了两种不同的方法：嘉嘉将纸带①沿AB折叠，量得∠1 = ∠2 = 59°；淇淇将纸带②沿CD折叠，发现CN与CM重合，DQ与DP重合(点C在MN上，点D在PQ上)，如图所示.下列判断正确的是 ( )


A.只有纸带①的边线平行
B.只有纸带②的边线平行
C.纸带①②的边线都平行
D.纸带①②的边线都不平行

答案：
B 本题将平行线的判定放在折叠背景下考查，增加了题目的趣味性.
如图，
　　　　　　　　
∵∠1 = ∠3，∠1 = ∠2 = 59°，
∴∠3 = ∠2 = 59°.
∴∠4 = ∠5 = 180° - 59° - 59° = 62°.
∴∠2≠∠4，
∴纸带①的边线不平行.
∵纸带②沿CD折叠后CN与CM重合，DQ与DP重合，
∴∠MCD = ∠NCD = 90°，∠PDC = ∠QDC = 90°，
∴∠MCD + ∠PDC = 180°，
∴纸带②的边线平行. 故选B.

17.推理能力 直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠BAF = 110°.(M7207005)
(1)如图①，若∠DCF = 70°，判断射线AB与CD之间的位置关系，并说明理由.
(2)如图②，若∠DCF = 60°，射线AB、CD分别绕A点、C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设转动时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某一时刻，CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的转动时间；若不存在，请说明理由.

答案：
解析
(1)AB//CD. 理由：
∵∠DCF = 70°，
∴∠ACD = 180° - ∠DCF = 110°，
∵∠BAF = 110°，
∴∠BAF = ∠ACD，
∴AB//CD.
(2)存在. 射线CD转动一周所用的时间为360÷6 = 60(秒)，在这段时间内，射线AB一直在EF的右侧，分两种情况：
如图1，CD还未转到EF的右侧时，
∵(180 - 60)÷6 = 20(秒)，
∴0≤t≤20. 由题意知∠ACD = (180 - 60 - 6t)° = (120 - 6t)°，∠BAC = (110 - t)°，要使AB//CD，需∠ACD = ∠BAC，即120 - 6t = 110 - t，解得t = 2.
　　
如图2，CD旋转到EF的右侧时，
∵(360 - 60)÷6 = 50(秒)，
∴20 ＜ t ＜ 50. 由题意知∠DCF = (360 - 6t - 60)° = (300 - 6t)°，∠BAC = (110 - t)°，要使AB//CD，需∠DCF = ∠BAC，即300 - 6t = 110 - t，解得t = 38.
当CD从射线CF处转到EF左侧时，50≤t≤60，易知CD与AB不平行.
　　　
综上所述，当转动时间为2秒或38秒时，CD与AB平行.