《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册人教版》

12.模型观念 模型与应用.
【模型】
(1)如图①,已知AB//CD,求证:∠1 + ∠MEN+∠2 = 360°.

【应用】
(2)如图②,已知AB//CD,则∠1 + ∠2 + ∠3+∠4 + ∠5 + ∠6 = ________°.
(3)如图③,已知AB//CD,则∠1 + ∠2 + ∠3+∠4 + ∠5 + ∠6+…+∠n = ____________°.
(4)如图④,已知AB//CD,∠AM₁M₂的平分线M₁O与∠CMₙMₙ₋₁的平分线MₙO交于点O,若∠M₁OMₙ = m°,求∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5+∠6+…+∠(n - 1)的度数.(用含m、n的式子表示)

答案：
解析
(1) 证明: 如图, 过点$E$作$EF // CD$, 则$\angle 2 + \angle NEF = 180^{\circ},$

$\because AB // CD, \therefore EF // AB, \therefore \angle 1 + \angle MEF = 180^{\circ},$
$\therefore \angle 1 + \angle MEN + \angle 2 = 360^{\circ}.$
(2)$900; (180n - 180).$
详解: 如图, 过$E$作$EQ // CD$, 过$F$作$FW // CD$, 过$G$作$GR // CD$, 过$H$作$HY // CD$,
$\because CD // AB, \therefore EQ // FW // GR // HY // AB // CD,$

$\therefore \angle 1 + \angle MEQ = 180^{\circ}, \angle QEF + \angle EFW = 180^{\circ}, \angle WFG + \angle FGR = 180^{\circ}, \angle RGH + \angle GHY = 180^{\circ}, \angle YHN + \angle 6 = 180^{\circ},$
$\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 5 \times 180^{\circ} = 900^{\circ},$
同理可得$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 + \cdots + \angle n = (n - 1) \times 180^{\circ} = (180n - 180)^{\circ}.$
(3) 如图, 过点$O$作$SR // AB$,

$\because AB // CD, \therefore AB // SR // CD,$
$\therefore \angle AM_{1}O = \angle M_{1}OR, \angle CM_{n}O = \angle M_{n}OR,$
$\therefore \angle AM_{1}O + \angle CM_{n}O = \angle M_{1}OR + \angle M_{n}OR,$
$\therefore \angle AM_{1}O + \angle CM_{n}O = \angle M_{1}OM_{n} = m^{\circ},$
$\because M_{1}O$平分$\angle AM_{1}M_{2},$
$\therefore \angle AM_{1}M_{2} = 2\angle AM_{1}O,$
同理可得$\angle CM_{n}M_{n - 1} = 2\angle CM_{n}O,$
$\therefore \angle AM_{1}M_{2} + \angle CM_{n}M_{n - 1} = 2\angle AM_{1}O + 2\angle CM_{n}O = 2\angle M_{1}OM_{n} = 2m^{\circ},$
又$\because \angle AM_{1}M_{2} + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 + \cdots + \angle (n - 1) + \angle CM_{n}M_{n - 1} = (n - 1) \cdot 180^{\circ},$
$\therefore \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 + \cdots + \angle (n - 1) = (180n - 180 - 2m)^{\circ}.$

1. 双三角尺 下列各图由含30°角或45°角的直角三角尺组合而成，其中可以利用内错角相等，得出AB//CD的为 ( )
　　　　　　
　　　　　　　　　　　
A.(1)(3)
B.(2)(4)
C.(1)(2)(4)
D.(2)(3)(4)

答案： 性质及判定中的应用
1B题图
(1)利用同位角相等，两直线平行，可以得出AB//CD，故不符合题意.
题图
(2)中∠BAD = ∠ADC = 30°，利用内错角相等，两直线平行，可以得出AB//CD，故符合题意.
题图
(3)中∠B + ∠D = 90° + 90° = 180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可以得出AB//CD，故不符合题意. 题图
(4)中∠ABC = ∠BCD = 90°，利用内错角相等，两直线平行，可以得出AB//CD，故符合题意.故选B.

2. 单三角尺 (2024四川泸州中考)把一块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置于两条平行线间，若∠1 = 45°，则∠2 = ( )
　　　
A.10°
B.15°
C.20°
D.30°

答案：
2B如图,

∵AB//CD，
∴∠BAD = ∠1 = 45°，
∵∠2 + ∠DAE = ∠BAD，∠DAE = 30°，
∴∠2 = 15°，故选B.

3. 直尺和三角尺 (2024内蒙古赤峰二模)将一块直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若∠1 = 36°，则∠2的度数是 ( )
　　　
A.36°
B.45°
C.54°
D.60°

答案：
3C如图,过M作MN//AB,

∵AB//CD，
∴MN//CD，
∴∠CMN = ∠1 = 36°，
∵∠AMC = 90°，
∴∠AMN = 90° - 36° = 54°，
∵MN//AB，
∴∠2 = ∠AMN，
∴∠2 = 54°.故选C.