《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册人教版》

15.(2024陕西中考改编,17,★☆☆)如图,请用有刻度的直角三角尺作一个等腰直角三角形ABC,使得顶点B和顶点C都在直线l上且∠ACB = 90°.

答案：
解析 如图，

将直角三角尺的一条直角边落在直线$l$上，另一条直角边过点$A$后沿该直角边作直线交直线$l$于点$C$，量出$AC$的长度后，在直线$l$上确定点$B$使$BC = AC$，连接$AB$.$\triangle ABC$即为所求（作法不唯一）.

16.推理能力 新考向·新定义试题(2024北京西城期中)在学习相交线与平行线一章时,李磊学习了垂直的定义,并仿照垂直的定义方法给出以下新定义:两条直线相交所形成的四个角中,有一个角是60°,就称两条直线互为完美交线,交点叫完美点.已知直线AB,CD互为完美交线,O为它们的完美点,OE⊥AB,则∠EOC的度数为________.(M7207002)

答案：
答案 $30^{\circ}$或$150^{\circ}$
解析 因为直线$AB$，$CD$互为完美交线，
所以$\angle BOC = 60^{\circ}$或$\angle AOC = 60^{\circ}$，设$\angle BOC = 60^{\circ}$.
如图1，当$OE$和$OC$在$AB$同侧时，

因为$OE\perp AB$，所以$\angle BOE = 90^{\circ}$，
所以$\angle EOC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$；
如图2，当$OE$和$OC$在$AB$异侧时，

因为$OE\perp AB$，所以$\angle BOE = 90^{\circ}$，
所以$\angle EOC = 90^{\circ} + 60^{\circ} = 150^{\circ}$.
综上，$\angle EOC$的度数为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$.
故答案为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$.

17.推理能力 分类讨论思想 已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC.
【基础尝试】
(1)如图1,若∠AOC = 40°,求∠DOE的度数.
【画图探究】
(2)作射线OF⊥OC,设∠AOC = x°,请你利用图2画出图形,并用含x的式子表示∠EOF的度数.
【拓展运用】
(3)在(2)中,存在∠EOF和∠DOE互补的情况吗?请你作出判断并说明理由.

答案：
解析 （1）因为$\angle AOC + \angle BOC = 180^{\circ}$，$\angle AOC = 40^{\circ}$，
所以$\angle BOC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$，
因为$OE$平分$\angle BOC$，所以$\angle COE = \frac{1}{2}\angle BOC = 70^{\circ}$，
因为$\angle DOE + \angle COE = 180^{\circ}$，
所以$\angle DOE = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$.
（2）当$OF$在$CD$的右侧时，如图1，因为$\angle AOC + \angle BOC = 180^{\circ}$，$\angle AOC = x^{\circ}$，所以$\angle BOC = (180 - x)^{\circ}$，
因为$OE$平分$\angle BOC$，
所以$\angle COE = \frac{1}{2}\angle BOC = (90 - \frac{1}{2}x)^{\circ}$，
因为$OF\perp OC$，所以$\angle COF = 90^{\circ}$，
所以$\angle EOF = 90^{\circ} - \angle COE = 90^{\circ} - (90 - \frac{1}{2}x)^{\circ} = \frac{1}{2}x^{\circ}$；

当$OF$在$CD$的左侧时，如图2，因为$\angle AOC + \angle BOC = 180^{\circ}$，$\angle AOC = x^{\circ}$，所以$\angle BOC = (180 - x)^{\circ}$，
因为$OE$平分$\angle BOC$，
所以$\angle COE = \frac{1}{2}\angle BOC = (90 - \frac{1}{2}x)^{\circ}$，
因为$OF\perp OC$，所以$\angle COF = 90^{\circ}$，
所以$\angle EOF = 90^{\circ} + \angle COE = 90^{\circ} + (90 - \frac{1}{2}x)^{\circ} = (180 - \frac{1}{2}x)^{\circ}$.
综上所述，$\angle EOF = \frac{1}{2}x^{\circ}$或$\angle EOF = (180 - \frac{1}{2}x)^{\circ}$.
（3）存在$\angle EOF$和$\angle DOE$互补的情况.
理由：如图3，当$AB\perp CD$，且$OF$与$OB$重合时，$\angle BOC = \angle BOD = 90^{\circ}$，

因为$OE$平分$\angle BOC$，
所以$\angle BOE = \frac{1}{2}\angle BOC = 45^{\circ}$，
即$\angle EOF = 45^{\circ}$，
所以$\angle DOE = \angle BOD + \angle BOE = 90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ}$，
所以$\angle EOF + \angle DOE = 180^{\circ}$，
即$\angle EOF$和$\angle DOE$互补.