《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册人教版》

23.（2024陕西榆林榆阳期末，7，★☆☆）如图，数轴上点A，B表示的数分别是1，$\sqrt{3}$，且B，C两点到点A的距离相等，则点C表示的数是（M7208003） （ ）

A.$\frac{1}{4}$
B.$1 - \sqrt{3}$
C.$2 - \sqrt{3}$
D.$3 - \sqrt{3}$

答案： C
∵ 数轴上点A，B表示的数分别是1，$\sqrt{3}$，
∴ $AB=\sqrt{3}-1$，
∵ B，C两点到点A的距离相等，
∴ $AC = AB=\sqrt{3}-1$，
∴ 点C表示的数是$1-(\sqrt{3}-1)=1-\sqrt{3}+1=2-\sqrt{3}$，故选C.

24.（2024河南汝州期末，17，★★☆）图1是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图中的虚线将它剪开后，重新拼成一个如图2所示的大正方形ABCD.（M7208003）
（1）在图2中，拼成的大正方形ABCD的面积为________，边AD的长为________.
（2）现将图2水平放置在如图3所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示-1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数.

答案： 解析 （1）
∵ 由10个边长均为1的小正方形组成的图形剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD，
∴ 大正方形ABCD的面积为$10\times1^{2}=10$，
∴ $AD^{2}=10$，
∴ $AD=\sqrt{10}$.
（2）
∵ $BC = AD=\sqrt{10}$，以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，
∴ 点E表示的数为$-1+\sqrt{10}$或$-1-\sqrt{10}$.

25.（2023河南洛阳涧西期中，21，★★☆）对于结论：当a + b = 0时，$a^3 + b^3 = 0$也成立.若将a看成$a^3$的立方根，b看成$b^3$的立方根，则可得出这样的结论：如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数.
（1）举一个具体的例子来验证上述结论.
（2）若$\sqrt[3]{1 + y}$和$\sqrt[3]{2y - 7}$互为相反数，且x + 3的平方根是它本身，求x + y的立方根.

答案： 解析 （1）答案不唯一，如$\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{-2}=0$，
则$2+(-2)=0$，即2与-2互为相反数.
（2）
∵ $\sqrt[3]{1 + y}$和$\sqrt[3]{2y - 7}$互为相反数，
∴ $\sqrt[3]{1 + y}+\sqrt[3]{2y - 7}=0$，
∴ $1 + y+2y - 7 = 0$，解得$y = 2$，
∵ $x + 3$的平方根是它本身，
∴ $x + 3 = 0$，
∴ $x=-3$.
∴ $x + y=-3 + 2=-1$，
∴ $x + y$的立方根是-1.

26.推理能力 新考向·代数推理 根据如图所示的拼图的启示填空.

（1）计算：$\sqrt{2} + \sqrt{8} =$________.
（2）计算：$\sqrt{8} + \sqrt{32} =$________.
（3）计算：$\sqrt{32} + \sqrt{128} =$________.

答案： 答案 （1）$3\sqrt{2}$ （2）$6\sqrt{2}$ （3）$12\sqrt{2}$
解析 易知面积为2的正方形的边长为$\sqrt{2}$.
∵ 面积为8的正方形的边长为$\sqrt{8}$，它是由4个面积为2的正方形拼成的，
∴ 面积为8的正方形的边长为$2\sqrt{2}$，即$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
∵ 面积为32的正方形的边长为$\sqrt{32}$，它是由16个面积为2的正方形拼成的，
∴ 面积为32的正方形的边长为$4\sqrt{2}$，即$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
∵ 面积为128的正方形的边长为$\sqrt{128}$，它是由64个面积为2的正方形拼成的，
∴ 面积为128的正方形的边长为$8\sqrt{2}$，即$\sqrt{128}=8\sqrt{2}$.
∴ （1）$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
（2）$\sqrt{8}+\sqrt{32}=2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.
（3）$\sqrt{32}+\sqrt{128}=4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=12\sqrt{2}$.

27.运算能力 （2024安徽利辛月考）大家知道$\sqrt{2}$是无理数，无理数是无限不循环小数.因此，$\sqrt{2}$的小数部分不可能全部写出来，但可以用$\sqrt{2} - 1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分.理由：因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，所以$\sqrt{2}$减去其整数部分，差就是其小数部分.设$5 + \sqrt{6}$的小数部分为a，$5 - \sqrt{6}$的小数部分为b，求a + b的值.（M7208003）

答案： 解析
∵ $2=\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}=3$，$-3=-\sqrt{9}＜-\sqrt{6}＜-\sqrt{4}=-2$，
∴ $7＜5+\sqrt{6}＜8$，$2＜5-\sqrt{6}＜3$，
∴ $5+\sqrt{6}$的整数部分是7，$5-\sqrt{6}$的整数部分是2，
∴ $a = 5+\sqrt{6}-7=\sqrt{6}-2$，$b = 5-\sqrt{6}-2=3-\sqrt{6}$，
∴ $a + b=\sqrt{6}-2+3-\sqrt{6}=1$.