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若关于 $ x $ 的方程 $ (k + 1)x^{|k| + 1} - x + 5 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ k = $ ______
1
。
答案：
1
1. (2024 南京模拟)有下列方程：① $ x^{2} - 2x - 1 = 0 $；② $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $；③ $ \frac{1}{x^{2}} + 3x - 5 = 0 $；④ $ -x^{2} = 0 $；⑤ $ (x - 1)^{2} + y^{2} = 2 $；⑥ $ (x - 1)(x - 3) = x^{2} $。其中一元二次方程共有(
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个
C
)A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个
答案：
C
2. (2024 淮安期末)关于 $ x $ 的方程 $ (m - 2)x^{2} + 3x + n = 0 $ 是一元二次方程,则 $ m $ 的取值范围是(
A.$ m \neq 2 $
B.$ m ＞ 2 $
C.$ m ＜ 2 $
D.$ 0 ＜ m ＜ 2 $
A
)A.$ m \neq 2 $
B.$ m ＞ 2 $
C.$ m ＜ 2 $
D.$ 0 ＜ m ＜ 2 $
答案：
A
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项。
(1) $ 3x^{2} - 1 = 2x $；
(2) $ x(x - 2) = 4x^{2} - 3x $；
(3) 关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2} - nx + mx + nx^{2} = q - p(m + n \neq 0) $。
(1) $ 3x^{2} - 1 = 2x $；
(2) $ x(x - 2) = 4x^{2} - 3x $；
(3) 关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2} - nx + mx + nx^{2} = q - p(m + n \neq 0) $。
答案：
（1）二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项为-1.
（2）二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为0.
（3）二次项系数为(m+n)，一次项系数为(m-n)，常数项为(p-q).
（2）二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为0.
（3）二次项系数为(m+n)，一次项系数为(m-n)，常数项为(p-q).
4. (2024 湖南怀化)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + mx - 2 = 0 $ 的一个根为 $ -1 $,则 $ m $ 的值为 ______
-1
。
答案：
-1
5. (2024 山东枣庄)若 $ x = 3 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} - bx = 6 $ 的解,则 $ 2024 - 6a + 2b $ 的值为 ______
2020
。
答案：
2 020
6. 根据下列问题,列出关于 $ x $ 的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1) $ 4 $ 个完全相同的正方形的面积之和是 $ 25 $,求正方形的边长 $ x $；
(2) 一个矩形的长比宽多 $ 2 $,面积是 $ 100 $,求矩形的长 $ x $；
(3) 一个直角三角形的斜边长是 $ 17cm $,两直角边之差为 $ 7cm $,求较短直角边的长 $ x $。
(1) $ 4 $ 个完全相同的正方形的面积之和是 $ 25 $,求正方形的边长 $ x $；
(2) 一个矩形的长比宽多 $ 2 $,面积是 $ 100 $,求矩形的长 $ x $；
(3) 一个直角三角形的斜边长是 $ 17cm $,两直角边之差为 $ 7cm $,求较短直角边的长 $ x $。
答案：
（1）解：依题意得，4x²=25，
化为一元二次方程的一般形式得，4x²-25=0.
（2）解：依题意得，x(x-2)=100，
化为一元二次方程的一般形式得，x²-2x-100=0.
（3）解：根据题意得，x²+(x+7)²=17²，
化为一元二次方程的一般形式，得x²+7x-120=0.
化为一元二次方程的一般形式得，4x²-25=0.
（2）解：依题意得，x(x-2)=100，
化为一元二次方程的一般形式得，x²-2x-100=0.
（3）解：根据题意得，x²+(x+7)²=17²，
化为一元二次方程的一般形式，得x²+7x-120=0.
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