《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

21. (9分)如图,$AC\perp BC$,$DC\perp EC$,$AC = BC$,$DC = EC$,$AE$与$BD$交于点$F$.
(1) 求证:$\triangle ACE\cong\triangle BCD$;
(2) $AE$和$BD$有怎样的关系? 请说明理由.

答案： 21.
(1)证明：
∵AC⊥BC,DC⊥EC，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\CE=CD,\end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)解：AE=BD且AE⊥BD；
理由是：由
(1)得AE=BD,∠A=∠B，
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ANC=90°，
∵∠ANC=∠BNF，
∴∠B+∠BNF=∠A+∠ANC=90°，
∴∠AFD=∠B+∠BNF=90°，
∴AE⊥BD.

22. (10分)如图①,$AB = 4\ cm$,$AC\perp AB$,$BD\perp AB$,$AC = BD = 3\ cm$.点$P$在线段$AB$上以$1\ cm/s$的速度由点$A$向点$B$运动,同时,点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动.它们运动的时间为$t$(单位:s).
(1) 若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等,当$t = 1\ s$时,$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$是否全等,并判断此时线段$PC$和线段$PQ$的位置关系,请分别说明理由;
(2) 如图②,将图①中的“$AC\perp AB$,$BD\perp AB$”改为“$\angle CAB = \angle DBA = 60^{\circ}$”,其他条件不变.设点$Q$的运动速度为$x\ cm/s$,是否存在实数$x$,使得$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等? 若存在,求出相应的$x$,$t$的值;若不存在,请说明理由.

答案： 22.解：
(1)当t=1时，AP=BQ=1,BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，$\begin{cases}AP=BQ,\\∠A=∠B,\\AC=BP,\end{cases}$
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直；
(2)存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP,AP=BQ，
则$\begin{cases}3=4-t,\\t=xt,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=1,\\x=1;\end{cases}$
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ,AP=BP，
则$\begin{cases}3=xt,\\t=4-t,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=2,\\x=\frac{3}{2};\end{cases}$
综上所述，存在$\begin{cases}t=1,\\x=1,\end{cases}$或$\begin{cases}t=2,\\x=\frac{3}{2},\end{cases}$
使得△ACP与△BPQ全等.