《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

21. 某超市购进$A,B$两种鲜花饼,费用分别为240元和200元,其中$A$种鲜花饼的数量是$B$种鲜花饼数量的2倍,已知$B$种鲜花饼每盒的单价比$A$种鲜花饼每盒的单价多8元.
(1) 求$A,B$两种鲜花饼每盒的单价;
(2) 超市计划本次购进$A,B$两种鲜花饼共30盒,购进总费用不高于500元,若$A,B$两种鲜花饼每盒的单价均不变,$A$种鲜花饼至少购进多少盒?

答案： 21.解：
(1)设$A$种鲜花饼每盒$x$元，
则$B$种鲜花饼每盒$(x + 8)$元，
由题意可列方程$\frac{240}{x} = 2 · \frac{200}{x + 8}$，
解得$x = 12,x + 8 = 20$，
经检验$x = 12$是原方程的解且符合题意.
答：$A$种鲜花饼每盒$12$元$,B$种鲜花饼每盒$20$元.
(2)设：$A$种鲜花饼购进$m$盒，
则$B$种鲜花饼购进$(30 - m)$盒，
由题意可得$12m + 20(30 - m) \leq 500$，
解得$m \geq \frac{25}{2}$，
$\because m$取正整数，$\therefore m$的最小值是$13$.
答：$A$种鲜花饼至少购进$13$盒.

22. 阅读理解:
若$x$满足$(80 - x)(x - 60)=30$,求$(80 - x)^{2}+(x - 60)^{2}$的值.
解:设$80 - x = a,x - 60 = b$,
则$(80 - x)(x - 60)=ab = 30,a + b=(80 - x)+(x - 60)=20$,
所以$(80 - x)^{2}+(x - 60)^{2}=a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 20^{2}-2× 30 = 340$.
解决问题:
(1) 若$x$满足$(30 - x)(x - 20)=-10$,求$(30 - x)^{2}+(x - 20)^{2}$的值;
(2) 若$x$满足$(2027 - x)^{2}+(2025 - x)^{2}=4054$,求$(2027 - x)(2025 - x)$的值;
(3) 如图,正方形$ABCD$的边长为$x,AE = 10,CG = 20$,长方形$EFGD$的面积是500,四边形$NGDH$和$MEDQ$都是正方形,$PQDH$是长方形,求图中阴影部分的面积.(结果必须是一个具体的数值)

答案： 22.解：
(1)设$(30 - x) = m,(x - 20) = n$，
则$(30 - x)(x - 20) = mn = - 10$，
$m + n = (30 - x) + (x - 20) = 10$，
$\therefore (30 - x)^2 + (x - 20)^2 = m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn =$
$10^2 - 2×( - 10) = 120$；
(2)设$(2027 - x) = c,(2025 - x) = d$，
则$(2027 - x)^2 + (2025 - x)^2 = c^2 + d^2 = 4054$，
$c - d = (2027 - x) - (2025 - x) = 2$，
$2cd = (c^2 + d^2) - (c - d)^2 = 4054 - 2^2 = 4050$，
$cd = 2025$，
$\therefore (2027 - x)(2025 - x) = cd = 2025$.
(3)
∵正方形$ABCD$的边长为$x$，$AE = 10,CG = 20$，
$\therefore DE = (x - 10),DG = x - 20$，
$\therefore (x - 10)(x - 20) = 500$，
设$(x - 10) = a,(x - 20) = b$，
$\therefore ab = 500,a - b = (x - 10) - (x - 20) = 10$，
$\therefore a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 10^2 + 2×500 = 1100$，
$\therefore$阴影部分的面积为
$a^2 + b^2 + 2ab = 1100 + 2×500 = 2100$.