《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

17. (6分)如图,在$\triangle ABC$中,$D$是边$BC$上的点,$DE\perp AC$,$DF\perp AB$,垂足分别为$E$,$F$,且$DE = DF$,$CE = BF$,$\angle C = 70^{\circ}$.求$\angle A$的度数.

答案： 17.解：
∵DF⊥AB,DE⊥AC，
∴∠BFD=∠CED=90°，
在△BDF和△CDE中，$\begin{cases}DF=DE,\\∠BFD=∠CED,\\BF=CE,\end{cases}$
∴△BDF≌△CDE(SAS),
∴∠B=∠C=70°，
∴在△ABC中，∠A=180°-2∠B=40°.

18. (7分)如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是边$BC$上的高,$AE$平分$\angle BAC$,$\angle B = 40^{\circ}$,$\angle C = 68^{\circ}$.求$\angle AEC$和$\angle DAE$的度数.

答案： 18.解：
∵∠B=40°,∠C=68°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=72°，
∵AE是角平分线，
∴$∠EAC=\frac{1}{2}∠BAC=36°.$
∵AD是高，∠C=68°，
∴∠DAC=90°-∠C=22°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=36°-22°=14°，
∠AEC=90°-14°=76°.

19. (7分)如图,在$\triangle ABC$中,$AC = BC$,直线$l$经过顶点$C$,过$A$,$B$两点分别作$l$的垂线$AE$,$BF$,$E$,$F$为垂足,$AE = CF$. 求证:$\angle ACB = 90^{\circ}$.

答案： 19.证明：在Rt△ACE和Rt△CBF中，$\begin{cases}AC=BC,\\AE=CF,\end{cases}$
∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL)，
∴∠EAC=∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACB=180°-90°=90°.

20. (7分)如图,$CE\perp AB$,$BF\perp AC$,$CE$与$BF$相交于点$D$,且$BD = CD$.求证:点$D$在$\angle BAC$的平分线上.

答案： 20.证明：在△BDE和△CDF中，$\begin{cases}∠BED=∠CFD=90°,\\∠BDE=∠CDF,\\BD=CD,\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF，
又
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上.