《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

16. (6分)如图,$\triangle ABC$的边$BC$上的高为$AF$,中线为$AD$,$AC$边上的高为$BG$,已知$AF = 6$,$BD = 10$,$BG = 5$.
(1)求$\triangle ABC$的面积;
(2)求$AC$的长.

答案： 16.解:
(1)
∵△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD，
AF = 6，BD = 10，
∴BC = 2BD = 20，
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AF = $\frac{1}{2}$×20×6 = 60;
(2)
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AF = 60，且BG = 5，
∴AC = 24.

17. (6分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{3}\angle ACB$,$CD$是$\triangle ABC$的高,$CE$是$\angle ACB$的角平分线,求$\angle DCE$的度数.

答案： 17.解:
∵∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠ACB，
∴∠B = 2∠A，∠ACB = 3∠A，
∵∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴∠A + 2∠A + 3∠A = 180°，
解得∠A = 30°，
∴∠ACB = 90°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠ACD = 90° - 30° = 60°，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
∴∠DCE = ∠ACD - ∠ACE = 60° - 45° = 15°.

18. (7分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABD = 24^{\circ}$,$\angle A = 45^{\circ}$,$\angle ACE = 12^{\circ}$.
(1)求$\angle BFC$的度数;
(2)若$\angle ABC = 90^{\circ}$,求证:$\angle BCF = \frac{1}{2}\angle CBF$.

答案： 18.
(1)解:
∵∠ABD = 24°，∠A = 45°，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD = 45° + 24° = 69°，
又
∵∠ACE = 12°，
∴∠BFC = ∠BDC + ∠ACE = 69° + 12° = 81°;
(2)证明:
∵∠ABC = 90°，∠ABD = 24°，
∴∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 90° - 24° = 66°，
∵∠A = 45°，
∴∠ACB = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 45° - 90° = 45°，
又
∵∠ACE = 12°，
∴∠BCF = ∠ACB - ∠ACE = 45° - 12° = 33°，
∴∠BCF = $\frac{1}{2}$∠DBC，即∠BCF = $\frac{1}{2}$∠CBF.

19. (7分)在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$DB$为$\triangle ABC$的中线,且$BD$将$\triangle ABC$周长分为9 cm与15 cm两部分,求三角形各边长.

答案：
19.解:根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB = AC = 2x，BC = y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD = DC = x，
若AB + AD的长为15cm，则2x + x = 15，解得x = 5，
则x + y = 9，即5 + y = 9，解得y = 4;
若AB + AD的长为9cm，则2x + x = 9，解得x = 3，
则x + y = 15，即3 + y = 15，解得y = 12，
6 + 6 = 12，三角形不存在，
所以等腰三角形的腰长为10cm，底边长为4cm.

20. (7分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle AGF = \angle ABC$,$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$.
(1)求证:$DE // BF$;
(2)若$DE \perp AC$,$\angle 2 = 140^{\circ}$,求$\angle AFG$的度数.

答案： 20.解:
(1)证明:
∵∠AGF = ∠ABC，
∴GF//BC，
∴∠1 = ∠CBF，
∵∠1 + ∠2 = 180°，
∴∠CBF + ∠2 = 180°，
∴BF//DE;
(2)
∵BF//DE，DE⊥AC，
∴BF⊥AC，
∵∠1 + ∠2 = 180°，∠2 = 140°，
∴∠1 = 40°，
∴∠AFG = 90° - 40° = 50°.