《2025年优学1+1评价与测试八年级数学上册人教版》

17. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = 4 \mathrm{cm} $, $ AC = 6 \mathrm{cm} $.
(1) 作图: 作 $ BC $ 边的垂直平分线分别交 $ AC $, $ BC $ 于点 $ D $, $ E $ (用尺规作图法, 保留作图痕迹, 不要求写法);
(2) 在 (1) 的条件下, 连接 $ BD $, 求 $ \triangle ABD $ 的周长.

答案： 17.解:
(1)作图略;
(2)
∵DE是BC边的垂直平分线，
∴BD=DC,
∵AB=4cm,AC=6cm,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+DC+AD =AB+AC=4cm+6cm=10cm.

18. 点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的中点, $ CE = CD $, $ \angle ACD = \angle BCE $. 求证: $ AE = BD $.

答案： 18.证明:
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC,
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\CE=CD,\end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.

19. 如图, $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, 点 $ E $, $ F $ 在边 $ BC $ 上, $ BE = CF $, 点 $ D $ 在 $ AF $ 的延长线上, $ AD = AC $.
(1) 求证: $ \triangle ABE \cong \triangle ACF $;
(2) 若 $ \angle BAE = 30^{\circ} $, 求 $ \angle ADC $ 的大小.

答案： 19.
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACF,
在△ABE和△ACF中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠B=∠ACF,\\BE=CF,\end{cases}$
∴△ABE≌△ACF(SAS);
(2)解:
∵△ABE≌△ACF,∠BAE=30°,
∴∠CAF=∠BAE=30°,
∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD,
∴∠ADC=$\frac{180°-30°}{2}$=75°.

20. 如图, $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle CDE $ 都是等边三角形, 点 $ D $ 在 $ BC $ 边上. 求证: $ AD = BE $.

答案： 20.证明:
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC,EC=DC,∠ACD=∠BCE=60°,
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACD=∠BCE,\\EC=DC,\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.